Trigonometrie Beispiele

$(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$

Schritt 1

Um den $\cos (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, 0)$ und $(- \frac{\sqrt{5}}{5}, \frac{2 \sqrt{5}}{5})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

Ankathete : $- \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{5}}{5})}^{2} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{5}}{5}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{1 \frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{5^{1}}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.3.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{5}{5^{2}} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.4

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{5}{25} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $25$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 (1)}{25} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{5} + {(\frac{2 \sqrt{5}}{5})}^{2}}$

Schritt 2.6

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 2.6.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{{(2 \sqrt{5})}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.6.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{5}$ an.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{2^{2} {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.7.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {\sqrt{5}}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.7.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 2.7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{5^{2}}}$

Schritt 2.7.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Schritt 2.7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{\frac{2}{2}}}{5^{2}}}$

Schritt 2.7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5^{1}}{5^{2}}}$

Schritt 2.7.2.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{5^{2}}}$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4 \cdot 5}{25}}$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{20}{25}}$

Schritt 2.8.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $25$ .

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Schritt 2.8.3.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 (4)}{25}}$

Schritt 2.8.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.8.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Schritt 2.8.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 5}}$

Schritt 2.8.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{1}{5} + \frac{4}{5}}$

Schritt 2.8.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{1 + 4}{5}}$

Schritt 2.8.4.2

Addiere $1$ und $4$ .

$\sqrt{\frac{5}{5}}$

Schritt 2.8.4.3

Dividiere $5$ durch $5$ .

$\sqrt{1}$

Schritt 2.8.4.4

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$1$

Schritt 3

Aus $\cos (θ) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$ folgt $\cos (θ) = \frac{- \frac{\sqrt{5}}{5}}{1}$ .

$\frac{- \frac{\sqrt{5}}{5}}{1}$

Schritt 4

Dividiere $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ durch $1$ .

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\cos (θ) = - \frac{\sqrt{5}}{5} \approx - 0.44721359$