Trigonometrie Beispiele

$(- 8, \frac{p}{3})$

Schritt 1

Um den $\sin (θ)$ zwischen der x-Achse und der Geraden zwischen den Punkten $(0, 0)$ und $(- 8, \frac{p}{3})$ zu ermitteln, zeichne das Dreieck zwischen den drei Punkten $(0, 0)$ , $(- 8, 0)$ und $(- 8, \frac{p}{3})$ .

Gegenüberliegend : $\frac{p}{3}$

Ankathete : $- 8$

Schritt 2

Berechne die Hypotenuse unter Anwendung des Satzes von Pythagoras $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$\sqrt{64 + {(\frac{p}{3})}^{2}}$

Schritt 2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{p}{3}$ an.

$\sqrt{64 + \frac{p^{2}}{3^{2}}}$

Schritt 2.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$\sqrt{64 + \frac{p^{2}}{9}}$

Schritt 2.4

Um $64$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{64 \cdot \frac{9}{9} + \frac{p^{2}}{9}}$

Schritt 2.5

Kombiniere $64$ und $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{64 \cdot 9}{9} + \frac{p^{2}}{9}}$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{64 \cdot 9 + p^{2}}{9}}$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $64$ mit $9$ .

$\sqrt{\frac{576 + p^{2}}{9}}$

Schritt 2.8

Schreibe $\frac{576 + p^{2}}{9}$ als ${(\frac{1}{3})}^{2} (576 + p^{2})$ um.

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Schritt 2.8.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{2}$ aus $576 + p^{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (576 + p^{2})}{9}}$

Schritt 2.8.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $9$ heraus.

$\sqrt{\frac{1^{2} (576 + p^{2})}{3^{2} \cdot 1}}$

Schritt 2.8.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{2} (576 + p^{2})}{3^{2} \cdot 1}$ um.

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} (576 + p^{2})}$

Schritt 2.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{1}{3} \sqrt{576 + p^{2}}$

Schritt 2.10

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sqrt{576 + p^{2}}$ .

$\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{3}$

Schritt 3

Aus $\sin (θ) = \frac{Gegenüberliegend}{Hypotenuse}$ folgt $\sin (θ) = \frac{\frac{p}{3}}{\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{3}}$ .

$\frac{\frac{p}{3}}{\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{3}}$

Schritt 4

Vereinfache $\sin (θ)$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sin (θ) = \frac{p}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{576 + p^{2}}}$

Schritt 4.2

Kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{p \cdot 3}{3 \sqrt{576 + p^{2}}}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{p \cdot 3}{3 \sqrt{576 + p^{2}}}$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{p}{\sqrt{576 + p^{2}}}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $\frac{p}{\sqrt{576 + p^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{p}{\sqrt{576 + p^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}}}$

Schritt 4.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $\frac{p}{\sqrt{576 + p^{2}}}$ mit $\frac{\sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}}}$ .

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}} \sqrt{576 + p^{2}}}$

Schritt 4.5.2

Potenziere $\sqrt{576 + p^{2}}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}} \sqrt{576 + p^{2}}}$

Schritt 4.5.3

Potenziere $\sqrt{576 + p^{2}}$ mit $1$ .

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{\sqrt{576 + p^{2}} \sqrt{576 + p^{2}}}$

Schritt 4.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{\sqrt{576 + p^{2}}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{\sqrt{576 + p^{2}}}^{2}}$

Schritt 4.5.6

Schreibe ${\sqrt{576 + p^{2}}}^{2}$ als $576 + p^{2}$ um.

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Schritt 4.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{576 + p^{2}}$ als ${(576 + p^{2})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{({(576 + p^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{(576 + p^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{(576 + p^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{{(576 + p^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{576 + p^{2}}$

Schritt 4.5.6.5

Vereinfache.

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{576 + p^{2}}$

Schritt 5

Approximiere das Ergebnis.

$\sin (θ) = \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{576 + p^{2}} \approx \frac{p \sqrt{576 + p^{2}}}{576 + p^{2}}$