Trigonometrie Beispiele

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Schritt 5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Schritt 6.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Schritt 8

Mutltipliziere $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ mit $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Schritt 9

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Schritt 10

Vereinfache.

$\sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 11

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 12.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 13

Kombiniere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$\sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 14

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 14.1

Schreibe $2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\sqrt{\frac{2}{1} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 14.2

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 14.3

Mutltipliziere $\frac{2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 14.4

Schreibe $- \sqrt{2}$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 14.5

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 14.6

Mutltipliziere $\frac{- \sqrt{2}}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{- \sqrt{2} \cdot 2}{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 2 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 16

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4 - \sqrt{2} \cdot 2 - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 16.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - (2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 16.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 16.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 - - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 16.5

Multipliziere $- - \sqrt{2}$ .

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Schritt 16.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + 1 \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 16.5.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} + (- 2 + \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 16.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 16.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}$

Schritt 16.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}$

Schritt 16.8.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}$

Schritt 16.8.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\sqrt{\frac{4 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} + 2}{2}}$

Schritt 17

Vereinfache Terme.

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Schritt 17.1

Addiere $4$ und $2$ .

$\sqrt{\frac{6 - 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 17.2

Subtrahiere $2 \sqrt{2}$ von $- 2 \sqrt{2}$ .

$\sqrt{\frac{6 - 4 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 17.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 - 4 \sqrt{2}$ und $2$ .

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Schritt 17.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3 - 4 \sqrt{2}}{2}}$

Schritt 17.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4 \sqrt{2}$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (- 2 \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 17.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (3) + 2 (- 2 \sqrt{2})$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2}}$

Schritt 17.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}$

Schritt 17.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{\frac{2 (3 - 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}$

Schritt 17.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{\frac{3 - 2 \sqrt{2}}{1}}$

Schritt 17.3.4.4

Dividiere $3 - 2 \sqrt{2}$ durch $1$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Schritt 18

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Dezimalform:

$0.41421356 \dots$