Trigonometrie Beispiele

$4 x^{2} = 4 x + 39$

Schritt 1

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 4 x = 39$

Schritt 2

Subtrahiere $39$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 x^{2} - 4 x - 39 = 0$

Schritt 3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4

Setze die Werte $a = 4$ , $b = - 4$ und $c = - 39$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 39)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 39$ .

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Schritt 5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 39}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 39$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 624}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.3

Addiere $16$ und $624$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{640}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4

Schreibe $640$ als $8^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $640$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{64 (10)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{10}}{2 \cdot 4}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{10}}{8}$

Schritt 5.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 8 \sqrt{10}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 39$ .

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Schritt 6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 39}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 39$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 624}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.3

Addiere $16$ und $624$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{640}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4

Schreibe $640$ als $8^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $640$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{64 (10)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{10}}{2 \cdot 4}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{10}}{8}$

Schritt 6.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 8 \sqrt{10}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 6.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 4 \cdot - 39}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 4 \cdot - 39$ .

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Schritt 7.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 16 \cdot - 39}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.2.2

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 39$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 624}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.3

Addiere $16$ und $624$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{640}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.4

Schreibe $640$ als $8^{2} \cdot 10$ um.

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Schritt 7.1.4.1

Faktorisiere $64$ aus $640$ heraus.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{64 (10)}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.4.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$x = \frac{4 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 10}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{10}}{2 \cdot 4}$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$x = \frac{4 \pm 8 \sqrt{10}}{8}$

Schritt 7.3

Vereinfache $\frac{4 \pm 8 \sqrt{10}}{8}$ .

$x = \frac{1 \pm 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 7.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$x = \frac{1 - 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{10}}{2}, \frac{1 - 2 \sqrt{10}}{2}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{1 + 2 \sqrt{10}}{2}, \frac{1 - 2 \sqrt{10}}{2}$

Dezimalform:

$x = 3.66227766 \dots, - 2.66227766 \dots$