Trigonometrie Beispiele

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 1

Um $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2

Um $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$ mit $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} + \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ mit $\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 + \sin (x)) \cos (x)} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(1 + \sin (x)) \cos (x)$ um.

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5

Schreibe $\frac{\cos (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.1

Multipliziere $\cos (x) \cos (x)$ .

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Schritt 5.1.1

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.1.2

Potenziere $\cos (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.1.2

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.1.3

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.1.4

Multipliziere $\sin (x) \sin (x)$ .

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Schritt 5.3.1.4.1

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.1.4.2

Potenziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.3.2

Addiere $\sin (x)$ und $\sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.4

Schreibe $\cos^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.4.1

Gruppiere die Terme um.

$\frac{\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.4.2

Ordne Terme um.

$\frac{\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) + 1 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.4.3

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\frac{1 + 1 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 + 2 \sin (x)$ heraus.

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Schritt 5.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \sin (x)}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.4.5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 1 + 2 \sin (x)$ heraus.

$\frac{2 \cdot (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.4.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $1 + \sin (x)$ .

$\frac{2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.5

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (1 + \sin (x))}{\cos (x) (1 + \sin (x))}$

Schritt 5.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{\cos (x)}$

Schritt 6

Separiere Brüche.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Schritt 7

Wandle von $\frac{1}{\cos (x)}$ nach $\sec (x)$ um.

$\frac{2}{1} \sec (x)$

Schritt 8

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \sec (x)$