Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) = \frac{8}{9}$ , $\cos (2 x)$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (x) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = \sqrt{{(9)}^{2} - {(8)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $9$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{81 - {(8)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $8$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{81 - 1 \cdot 64}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $64$ .

Ankathete $= \sqrt{81 - 64}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $64$ von $81$ .

Ankathete $= \sqrt{17}$

Schritt 5

Bestimme den Wert von $\cos (x)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (x) = \frac{Ankathete}{Hypotenuse}$

Schritt 6

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$

Schritt 7

Wende die Doppelwinkelfunktion an, um $\cos (2 x)$ nach $2 \cos^{2} (x) - 1$ zu transformieren.

$2 \cos^{2} (x) - 1$

Schritt 8

Wende die Definiton von $c o s$ an, um den Wert von $\cos (x)$ zu finden. In diesem Fall $\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{17}}{9}$

Schritt 9

Setze die Werte in $2 \cos^{2} (x) - 1$ ein.

$\cos (2 x) = 2 {(\frac{\sqrt{17}}{9})}^{2} - 1$

Schritt 10

Berechne $2 {(\frac{\sqrt{17}}{9})}^{2} - 1$ , um $\cos (2 x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{17}}{9}$ an.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{{\sqrt{17}}^{2}}{9^{2}}) - 1$

Schritt 10.1.2

Schreibe ${\sqrt{17}}^{2}$ als $17$ um.

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Schritt 10.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{17}$ als $17^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{{(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9^{2}}) - 1$

Schritt 10.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9^{2}}) - 1$

Schritt 10.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}) - 1$

Schritt 10.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17^{\frac{2}{2}}}{9^{2}}) - 1$

Schritt 10.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{9^{2}}) - 1$

Schritt 10.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{9^{2}}) - 1$

Schritt 10.1.3

Potenziere $9$ mit $2$ .

$\cos (2 x) = 2 (\frac{17}{81}) - 1$

Schritt 10.1.4

Multipliziere $2 (\frac{17}{81})$ .

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Schritt 10.1.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{17}{81}$ .

$\cos (2 x) = \frac{2 \cdot 17}{81} - 1$

Schritt 10.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $17$ .

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} - 1$

Schritt 10.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{81}{81}$ .

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} - 1 \cdot \frac{81}{81}$

Schritt 10.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{81}{81}$ .

$\cos (2 x) = \frac{34}{81} + \frac{- 1 \cdot 81}{81}$

Schritt 10.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\cos (2 x) = \frac{34 - 1 \cdot 81}{81}$

Schritt 10.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $81$ .

$\cos (2 x) = \frac{34 - 81}{81}$

Schritt 10.5.2

Subtrahiere $81$ von $34$ .

$\cos (2 x) = \frac{- 47}{81}$

Schritt 10.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\cos (2 x) = - \frac{47}{81}$