Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) = \frac{1}{4}$ , $\sin (2 x)$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (x) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = \sqrt{{(4)}^{2} - {(1)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{16 - {(1)}^{2}}$

Schritt 4.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

Ankathete $= \sqrt{16 - 1 \cdot 1}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

Ankathete $= \sqrt{16 - 1}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $1$ von $16$ .

Ankathete $= \sqrt{15}$

Schritt 5

Bestimme den Wert von $\sin (x)$ mithilfe der Definition des Sinus.

$\sin (x) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 6

Setze die bekannten Werte ein.

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

Schritt 7

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Sinus an.

$2 \sin (x) \cos (x)$

Schritt 8

Wende die Definiton von $s i n$ an, um den Wert von $\sin (x)$ zu finden. In diesem Fall $\sin (x) = \frac{1}{4}$ .

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

Schritt 9

Wende die Definiton von $c o s$ an, um den Wert von $\cos (x)$ zu finden. In diesem Fall $\cos (x) = \frac{\sqrt{15}}{4}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Schritt 10

Setze die Werte in $2 \sin (x) \cos (x)$ ein.

$\sin (2 x) = 2 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}$

Schritt 11

Berechne $2 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}$ , um $\sin (2 x)$ zu finden.

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Schritt 11.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\sin (2 x) = 2 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{\sqrt{15}}{2 (2)}$

Schritt 11.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (2 x) = 2 (\frac{1}{4}) \cdot \frac{\sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

Schritt 11.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (2 x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{15}}{2}$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{\sqrt{15}}{2}$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{15}}{4 \cdot 2}$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{15}}{8}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sin (2 x) = \frac{\sqrt{15}}{8}$

Dezimalform:

$\sin (2 x) = 0.48412291 \dots$