Trigonometrie Beispiele

$\cos (3 a)$

Schritt 1

Eine gute Methode $\cos (3 a)$ zu entwickeln, ist die Anwendung des Satzes von de Moivre $(r {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n} = r^{n} (\cos (n x) + i \cdot \sin (n x)))$ . Wenn $r = 1$ , $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ .

$\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$

Schritt 2

Multipliziere die rechte Seite der Gleichung $\cos (n x) + i \cdot \sin (n x) = {(\cos (x) + i \cdot \sin (x))}^{n}$ durch Anwenden des binomischen Lehrsatzes aus.

Multipliziere aus: ${(\cos (a) + i \cdot \sin (a))}^{3}$

Schritt 3

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) (i \sin (a)) + 3 \cos (a) {(i \sin (a))}^{2} + {(i \sin (a))}^{3}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $i \sin (a)$ an.

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) + 3 \cos (a) (i^{2} \sin^{2} (a)) + {(i \sin (a))}^{3}$

Schritt 4.1.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) + 3 \cos (a) (- 1 \sin^{2} (a)) + {(i \sin (a))}^{3}$

Schritt 4.1.3

Schreibe $- 1 \sin^{2} (a)$ als $- \sin^{2} (a)$ um.

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) + 3 \cos (a) (- \sin^{2} (a)) + {(i \sin (a))}^{3}$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) + {(i \sin (a))}^{3}$

Schritt 4.1.5

Wende die Produktregel auf $i \sin (a)$ an.

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) + i^{3} \sin^{3} (a)$

Schritt 4.1.6

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) + i^{2} \cdot i \sin^{3} (a)$

Schritt 4.1.7

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) - 1 \cdot i \sin^{3} (a)$

Schritt 4.1.8

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) - i \sin^{3} (a)$

Schritt 4.2

Stelle die Faktoren in $\cos^{3} (a) + 3 \cos^{2} (a) i \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) - i \sin^{3} (a)$ um.

$\cos^{3} (a) + 3 i \cos^{2} (a) \sin (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a) - i \sin^{3} (a)$

Schritt 5

Ziehe die Ausdrücke mit dem imaginären Teil heraus, welche gleich $\cos (3 a)$ sind. Entferne die imaginäre Zahl $i$ .

$\cos (3 a) = \cos^{3} (a) - 3 \cos (a) \sin^{2} (a)$