Trigonometrie Beispiele

$\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ in den Zähler.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Schritt 3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + \sqrt{3}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + \sqrt{3}}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$

Schritt 6

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ mit $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.1

Potenziere $3 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 7.2

Potenziere $3 - \sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Schritt 7.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 7.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Schritt 8

Schreibe ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ als $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ um.

$\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9

Multipliziere $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 9.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 10

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 10.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 10.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 10.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 10.1.4

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 10.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 10.1.4.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 10.1.4.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Schritt 10.1.4.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Schritt 10.1.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Schritt 10.1.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Schritt 10.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 10.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Schritt 10.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Schritt 10.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 10.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Schritt 10.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Schritt 10.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Schritt 10.2

Addiere $9$ und $3$ .

$\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 10.3

Subtrahiere $3 \sqrt{3}$ von $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12 - 6 \sqrt{3}$ und $6$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Schritt 11.2

Faktorisiere $6$ aus $- 6 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Schritt 11.3

Faktorisiere $6$ aus $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Schritt 11.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Schritt 11.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Schritt 11.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Schritt 11.4.4

Dividiere $2 - \sqrt{3}$ durch $1$ .

$2 - \sqrt{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$2 - \sqrt{3}$

Dezimalform:

$0.26794919 \dots$