Trigonometrie Beispiele

$\frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 + 7 \sqrt{15}}$

Schritt 1

Mutltipliziere $\frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 + 7 \sqrt{15}}$ mit $\frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 - 7 \sqrt{15}}$ .

$\frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 + 7 \sqrt{15}} \cdot \frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 - 7 \sqrt{15}}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 + 7 \sqrt{15}}$ mit $\frac{15 - 7 \sqrt{15}}{15 - 7 \sqrt{15}}$ .

$\frac{(15 - 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})}{(15 + 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})}$

Schritt 2.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(15 - 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})}{225 - 105 \sqrt{15} + 105 \sqrt{15} - 49 {\sqrt{15}}^{2}}$

Schritt 2.3

Vereinfache.

$\frac{(15 - 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Schritt 3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1

Potenziere $15 - 7 \sqrt{15}$ mit $1$ .

$\frac{{(15 - 7 \sqrt{15})}^{1} (15 - 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Schritt 3.2

Potenziere $15 - 7 \sqrt{15}$ mit $1$ .

$\frac{{(15 - 7 \sqrt{15})}^{1} {(15 - 7 \sqrt{15})}^{1}}{- 510}$

Schritt 3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(15 - 7 \sqrt{15})}^{1 + 1}}{- 510}$

Schritt 3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(15 - 7 \sqrt{15})}^{2}}{- 510}$

Schritt 4

Schreibe ${(15 - 7 \sqrt{15})}^{2}$ als $(15 - 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})$ um.

$\frac{(15 - 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Schritt 5

Multipliziere $(15 - 7 \sqrt{15}) (15 - 7 \sqrt{15})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 (15 - 7 \sqrt{15}) - 7 \sqrt{15} (15 - 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Schritt 5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 \cdot 15 + 15 (- 7 \sqrt{15}) - 7 \sqrt{15} (15 - 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{15 \cdot 15 + 15 (- 7 \sqrt{15}) - 7 \sqrt{15} \cdot 15 - 7 \sqrt{15} (- 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Schritt 6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $15$ mit $15$ .

$\frac{225 + 15 (- 7 \sqrt{15}) - 7 \sqrt{15} \cdot 15 - 7 \sqrt{15} (- 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $15$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 7 \sqrt{15} \cdot 15 - 7 \sqrt{15} (- 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Schritt 6.1.3

Mutltipliziere $15$ mit $- 7$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} - 7 \sqrt{15} (- 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere $- 7 \sqrt{15} (- 7 \sqrt{15})$ .

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 7$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 \sqrt{15} \sqrt{15}}{- 510}$

Schritt 6.1.4.2

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 ({\sqrt{15}}^{1} \sqrt{15})}{- 510}$

Schritt 6.1.4.3

Potenziere $\sqrt{15}$ mit $1$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 ({\sqrt{15}}^{1} {\sqrt{15}}^{1})}{- 510}$

Schritt 6.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 {\sqrt{15}}^{1 + 1}}{- 510}$

Schritt 6.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 {\sqrt{15}}^{2}}{- 510}$

Schritt 6.1.5

Schreibe ${\sqrt{15}}^{2}$ als $15$ um.

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Schritt 6.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{15}$ als $15^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 {(15^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 510}$

Schritt 6.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 \cdot 15^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 510}$

Schritt 6.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{- 510}$

Schritt 6.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 \cdot 15^{\frac{2}{2}}}{- 510}$

Schritt 6.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 \cdot 15^{1}}{- 510}$

Schritt 6.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 49 \cdot 15}{- 510}$

Schritt 6.1.6

Mutltipliziere $49$ mit $15$ .

$\frac{225 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15} + 735}{- 510}$

Schritt 6.2

Addiere $225$ und $735$ .

$\frac{960 - 105 \sqrt{15} - 105 \sqrt{15}}{- 510}$

Schritt 6.3

Subtrahiere $105 \sqrt{15}$ von $- 105 \sqrt{15}$ .

$\frac{960 - 210 \sqrt{15}}{- 510}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $960 - 210 \sqrt{15}$ und $- 510$ .

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Schritt 7.1

Faktorisiere $30$ aus $960$ heraus.

$\frac{30 (32) - 210 \sqrt{15}}{- 510}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $30$ aus $- 210 \sqrt{15}$ heraus.

$\frac{30 (32) + 30 (- 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $30$ aus $30 (32) + 30 (- 7 \sqrt{15})$ heraus.

$\frac{30 (32 - 7 \sqrt{15})}{- 510}$

Schritt 7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $30$ aus $- 510$ heraus.

$\frac{30 (32 - 7 \sqrt{15})}{30 \cdot - 17}$

Schritt 7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{30 (32 - 7 \sqrt{15})}{30 \cdot - 17}$

Schritt 7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{32 - 7 \sqrt{15}}{- 17}$

Schritt 8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{32 - 7 \sqrt{15}}{17}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{32 - 7 \sqrt{15}}{17}$

Dezimalform:

$- 0.28759509 \dots$