Trigonometrie Beispiele

${(3 (\cos (15) + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\cos (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

${(3 (\cos (45 - 30) + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.1.2

Separiere die Negation.

${(3 (\cos (45 - (30)) + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.1.3

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

${(3 (\cos (45) \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.1.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (45) \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.1.6

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30) + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.1.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.1.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.1.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.1.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

${(3 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.1.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.1.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.1.8.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.1.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.1.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (15)))}^{3}$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\sin (15)$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Teile $15$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - 30)))}^{3}$

Schritt 1.2.2

Separiere die Negation.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \sin (45 - (30))))}^{3}$

Schritt 1.2.3

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\sin (45) \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

Schritt 1.2.4

Der genau Wert von $\sin (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (30) - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

Schritt 1.2.5

Der genau Wert von $\cos (30)$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (45) \sin (30))))}^{3}$

Schritt 1.2.6

Der genau Wert von $\cos (45)$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (30))))}^{3}$

Schritt 1.2.7

Der genau Wert von $\sin (30)$ ist $\frac{1}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Schritt 1.2.8

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.8.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Schritt 1.2.8.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Schritt 1.2.8.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Schritt 1.2.8.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})))}^{3}$

Schritt 1.2.8.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.2.8.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})))}^{3}$

Schritt 1.2.8.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4})))}^{3}$

Schritt 1.2.8.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + i \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}))}^{3}$

Schritt 1.3

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

${(3 (\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{i (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4}))}^{3}$

Schritt 2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

${(3 \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4})}^{3}$

Schritt 2.2

Kombiniere $3$ und $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}}{4}$ .

${(\frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4})}^{3}$

Schritt 3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}{4}$ an.

$\frac{{(3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2}))}^{3}}{4^{3}}$

Schritt 3.2

Wende die Produktregel auf $3 (\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})$ an.

$\frac{3^{3} {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{4^{3}}$

Schritt 4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\frac{27 {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{4^{3}}$

Schritt 5

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{27 {(\sqrt{6} + \sqrt{2} + i \sqrt{6} - i \sqrt{2})}^{3}}{64}$