Trigonometrie Beispiele

$i^{- 15}$

Schritt 1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{i^{15}}$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Schreibe $i^{15}$ als ${(i^{4})}^{3} (i^{2} \cdot i)$ um.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $i^{12}$ aus.

$\frac{1}{i^{12} i^{3}}$

Schritt 2.1.2

Schreibe $i^{12}$ als ${(i^{4})}^{3}$ um.

$\frac{1}{{(i^{4})}^{3} i^{3}}$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$\frac{1}{{(i^{4})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Schritt 2.2

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.2.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$\frac{1}{{({(i^{2})}^{2})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Schritt 2.2.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{1}{{({(- 1)}^{2})}^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Schritt 2.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{1^{3} (i^{2} \cdot i)}$

Schritt 2.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{1 (i^{2} \cdot i)}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $i^{2} \cdot i$ mit $1$ .

$\frac{1}{i^{2} \cdot i}$

Schritt 2.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{1}{- 1 \cdot i}$

Schritt 2.6

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$\frac{1}{- i}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $1$ und $- 1$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$\frac{- 1 (- 1)}{- i}$

Schritt 3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{i}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler und den Nenner von $\frac{1}{i}$ mit der Konjugierten von $i$ , um den Nenner reell zu machen.

$- (\frac{1}{i} \cdot \frac{i}{i})$

Schritt 5

Multipliziere.

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Schritt 5.1

Kombinieren.

$- \frac{1 i}{i i}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$- \frac{i}{i i}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- \frac{i}{i^{1} i}$

Schritt 5.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$- \frac{i}{i^{1} i^{1}}$

Schritt 5.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{i}{i^{1 + 1}}$

Schritt 5.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{i}{i^{2}}$

Schritt 5.3.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- \frac{i}{- 1}$

Schritt 6

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{i}{- 1}$ .

$- (- 1 \cdot i)$

Schritt 7

Schreibe $- 1 \cdot i$ als $- i$ um.

$- - i$

Schritt 8

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 i$

Schritt 9

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$i$

Schritt 10

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 11

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 12

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0$ und $b = 1$ .

$| z | = \sqrt{1^{2}}$

Schritt 13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 1$

Schritt 14

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{1}{0})$

Schritt 15

Da das Argument nicht definiert ist und $b$ positiv ist, ist der Winkel des Punktes in der komplexen Ebene $\frac{π}{2}$ .

$θ = \frac{π}{2}$

Schritt 16

Substituiere die Werte von $θ = \frac{π}{2}$ und $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{π}{2}) + i \sin (\frac{π}{2})$