Trigonometrie Beispiele

${(2 - 2 i)}^{2}$

Schritt 1

Schreibe ${(2 - 2 i)}^{2}$ als $(2 - 2 i) (2 - 2 i)$ um.

$(2 - 2 i) (2 - 2 i)$

Schritt 2

Multipliziere $(2 - 2 i) (2 - 2 i)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 - 2 i) - 2 i (2 - 2 i)$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 (- 2 i) - 2 i (2 - 2 i)$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \cdot 2 + 2 (- 2 i) - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 + 2 (- 2 i) - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Schritt 3.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$4 - 4 i - 2 i \cdot 2 - 2 i (- 2 i)$

Schritt 3.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$4 - 4 i - 4 i - 2 i (- 2 i)$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $- 2 i (- 2 i)$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 i i$

Schritt 3.1.4.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 (i^{1} i)$

Schritt 3.1.4.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 (i^{1} i^{1})$

Schritt 3.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$4 - 4 i - 4 i + 4 i^{1 + 1}$

Schritt 3.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$4 - 4 i - 4 i + 4 i^{2}$

Schritt 3.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$4 - 4 i - 4 i + 4 \cdot - 1$

Schritt 3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$4 - 4 i - 4 i - 4$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$0 - 4 i - 4 i$

Schritt 3.3

Subtrahiere $4 i$ von $0$ .

$- 4 i - 4 i$

Schritt 3.4

Subtrahiere $4 i$ von $- 4 i$ .

$- 8 i$

Schritt 4

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 5

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 6

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0$ und $b = - 8$ .

$| z | = \sqrt{{(- 8)}^{2}}$

Schritt 7

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 7.1

Potenziere $- 8$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Schritt 7.2

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Schritt 7.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 8$

Schritt 8

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 8}{0})$

Schritt 9

Da das Argument nicht definiert ist und $b$ negativ ist, ist der Winkel des Punktes in der komplexen Ebene $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 10

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{2}$ und $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2}))$