Trigonometrie Beispiele

$i^{19}$

Schritt 1

Schreibe $i^{19}$ als ${(i^{4})}^{4} (i^{2} \cdot i)$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $i^{16}$ aus.

$i^{16} i^{3}$

Schritt 1.2

Schreibe $i^{16}$ als ${(i^{4})}^{4}$ um.

${(i^{4})}^{4} i^{3}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

${(i^{4})}^{4} (i^{2} \cdot i)$

Schritt 2

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

${({(i^{2})}^{2})}^{4} (i^{2} \cdot i)$

Schritt 2.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

${({(- 1)}^{2})}^{4} (i^{2} \cdot i)$

Schritt 2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1^{4} (i^{2} \cdot i)$

Schritt 3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 (i^{2} \cdot i)$

Schritt 4

Mutltipliziere $i^{2} \cdot i$ mit $1$ .

$i^{2} \cdot i$

Schritt 5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 1 \cdot i$

Schritt 6

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$- i$

Schritt 7

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 8

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 9

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 0$ und $b = - 1$ .

$| z | = \sqrt{{(- 1)}^{2}}$

Schritt 10

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 10.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{1}$

Schritt 10.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$| z | = 1$

Schritt 11

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 1}{0})$

Schritt 12

Da das Argument nicht definiert ist und $b$ negativ ist, ist der Winkel des Punktes in der komplexen Ebene $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Schritt 13

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{2}$ und $| z | = 1$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) + i \sin (\frac{3 π}{2})$