Trigonometrie Beispiele

${(1 + i)}^{8}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1^{8} + 8 \cdot 1^{7} i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 8 \cdot 1^{7} i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 8 \cdot 1 i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$1 + 8 i + 28 \cdot 1^{6} i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 8 i + 28 \cdot 1 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $28$ mit $1$ .

$1 + 8 i + 28 i^{2} + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.6

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 8 i + 28 \cdot - 1 + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.7

Mutltipliziere $28$ mit $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 + 56 \cdot 1^{5} i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 8 i - 28 + 56 \cdot 1 i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.9

Mutltipliziere $56$ mit $1$ .

$1 + 8 i - 28 + 56 i^{3} + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.10

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 + 8 i - 28 + 56 (i^{2} \cdot i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.11

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 8 i - 28 + 56 (- 1 \cdot i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.12

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 + 8 i - 28 + 56 (- i) + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.13

Mutltipliziere $- 1$ mit $56$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1^{4} i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.14

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.15

Mutltipliziere $70$ mit $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 i^{4} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.16

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.16.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 {(i^{2})}^{2} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.16.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 {(- 1)}^{2} + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.16.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 \cdot 1 + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.17

Mutltipliziere $70$ mit $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 \cdot 1^{3} i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.18

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 \cdot 1 i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.19

Mutltipliziere $56$ mit $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i^{5} + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.20

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 (i^{4} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.21

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.21.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 ({(i^{2})}^{2} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.21.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 ({(- 1)}^{2} i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.21.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 (1 i) + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.22

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot 1^{2} i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.23

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot 1 i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.24

Mutltipliziere $28$ mit $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 i^{6} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.25

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 (i^{4} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.26

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.26.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 ({(i^{2})}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.26.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 ({(- 1)}^{2} i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.26.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 (1 i^{2}) + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.27

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 i^{2} + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.28

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i + 28 \cdot - 1 + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.29

Mutltipliziere $28$ mit $- 1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 \cdot 1 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.30

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 i^{7} + i^{8}$

Schritt 2.1.31

Schreibe $i^{7}$ als $i^{4} (i^{2} \cdot i)$ um.

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Schritt 2.1.31.1

Faktorisiere $i^{4}$ aus.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{4} i^{3}) + i^{8}$

Schritt 2.1.31.2

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{4} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

Schritt 2.1.32

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.32.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 ({(i^{2})}^{2} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

Schritt 2.1.32.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 ({(- 1)}^{2} (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

Schritt 2.1.32.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (1 (i^{2} \cdot i)) + i^{8}$

Schritt 2.1.33

Mutltipliziere $i^{2} \cdot i$ mit $1$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (i^{2} \cdot i) + i^{8}$

Schritt 2.1.34

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (- 1 \cdot i) + i^{8}$

Schritt 2.1.35

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 + 8 (- i) + i^{8}$

Schritt 2.1.36

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + i^{8}$

Schritt 2.1.37

Schreibe $i^{8}$ als ${(i^{4})}^{2}$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {(i^{4})}^{2}$

Schritt 2.1.38

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 2.1.38.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {({(i^{2})}^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.38.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + {({(- 1)}^{2})}^{2}$

Schritt 2.1.38.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1^{2}$

Schritt 2.1.39

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 8 i - 28 - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $28$ von $1$ .

$- 27 + 8 i - 56 i + 70 + 56 i - 28 - 8 i + 1$

Schritt 2.2.2

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 2.2.2.1

Addiere $- 27$ und $70$ .

$43 + 8 i - 56 i + 56 i - 28 - 8 i + 1$

Schritt 2.2.2.2

Subtrahiere $28$ von $43$ .

$15 + 8 i - 56 i + 56 i - 8 i + 1$

Schritt 2.2.2.3

Addiere $15$ und $1$ .

$16 + 8 i - 56 i + 56 i - 8 i$

Schritt 2.2.3

Subtrahiere $56 i$ von $8 i$ .

$16 - 48 i + 56 i - 8 i$

Schritt 2.2.4

Addiere $- 48 i$ und $56 i$ .

$16 + 8 i - 8 i$

Schritt 2.2.5

Subtrahiere $8 i$ von $8 i$ .

$16 + 0$

Schritt 2.2.6

Addiere $16$ und $0$ .

$16$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 16$ und $b = 0$ .

$| z | = \sqrt{0^{2} + 16^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$| z | = \sqrt{0 + 16^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $16$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{0 + 256}$

Schritt 6.3

Addiere $0$ und $256$ .

$| z | = \sqrt{256}$

Schritt 6.4

Schreibe $256$ als $16^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{16^{2}}$

Schritt 6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 16$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{0}{16})$

Schritt 8

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{0}{16}$ einen Winkel im ersten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $0$ .

$θ = 0$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = 0$ und $| z | = 16$ .

$16 (\cos (0) + i \sin (0))$