Trigonometrie Beispiele

${(1 + i)}^{3}$

Schritt 1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$1^{3} + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 \cdot 1^{2} i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$1 + 3 \cdot 1 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 + 3 i + 3 \cdot 1 i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$1 + 3 i + 3 i^{2} + i^{3}$

Schritt 2.1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 3 i + 3 \cdot - 1 + i^{3}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$1 + 3 i - 3 + i^{3}$

Schritt 2.1.7

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$1 + 3 i - 3 + i^{2} \cdot i$

Schritt 2.1.8

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$1 + 3 i - 3 - 1 \cdot i$

Schritt 2.1.9

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$1 + 3 i - 3 - i$

Schritt 2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 2.2.1

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$- 2 + 3 i - i$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $i$ von $3 i$ .

$- 2 + 2 i$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 2$ und $b = 2$ .

$| z | = \sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{4 + 4}$

Schritt 6.3

Addiere $4$ und $4$ .

$| z | = \sqrt{8}$

Schritt 6.4

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$| z | = \sqrt{4 (2)}$

Schritt 6.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{2^{2} \cdot 2}$

Schritt 6.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$| z | = 2 \sqrt{2}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{2}{- 2})$

Schritt 8

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{2}{- 2}$ einen Winkel im zweiten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = \frac{3 π}{4}$ und $| z | = 2 \sqrt{2}$ .

$2 \sqrt{2} (\cos (\frac{3 π}{4}) + i \sin (\frac{3 π}{4}))$