Trigonometrie Beispiele

$7 i^{243} + 10 i^{986}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $i^{243}$ als ${(i^{4})}^{60} (i^{2} \cdot i)$ um.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $i^{240}$ aus.

$7 (i^{240} i^{3}) + 10 i^{986}$

Schritt 1.1.2

Schreibe $i^{240}$ als ${(i^{4})}^{60}$ um.

$7 ({(i^{4})}^{60} i^{3}) + 10 i^{986}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $i^{2}$ aus.

$7 ({(i^{4})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Schritt 1.2

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$7 ({({(i^{2})}^{2})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Schritt 1.2.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$7 ({({(- 1)}^{2})}^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Schritt 1.2.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$7 (1^{60} (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Schritt 1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$7 (1 (i^{2} \cdot i)) + 10 i^{986}$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $i^{2} \cdot i$ mit $1$ .

$7 (i^{2} \cdot i) + 10 i^{986}$

Schritt 1.5

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$7 (- 1 \cdot i) + 10 i^{986}$

Schritt 1.6

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$7 (- i) + 10 i^{986}$

Schritt 1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- 7 i + 10 i^{986}$

Schritt 1.8

Schreibe $i^{986}$ als ${(i^{4})}^{246} i^{2}$ um.

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Schritt 1.8.1

Faktorisiere $i^{984}$ aus.

$- 7 i + 10 (i^{984} i^{2})$

Schritt 1.8.2

Schreibe $i^{984}$ als ${(i^{4})}^{246}$ um.

$- 7 i + 10 ({(i^{4})}^{246} i^{2})$

Schritt 1.9

Schreibe $i^{4}$ als $1$ um.

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Schritt 1.9.1

Schreibe $i^{4}$ als ${(i^{2})}^{2}$ um.

$- 7 i + 10 ({({(i^{2})}^{2})}^{246} i^{2})$

Schritt 1.9.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 7 i + 10 ({({(- 1)}^{2})}^{246} i^{2})$

Schritt 1.9.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 7 i + 10 (1^{246} i^{2})$

Schritt 1.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- 7 i + 10 (1 i^{2})$

Schritt 1.11

Mutltipliziere $i^{2}$ mit $1$ .

$- 7 i + 10 i^{2}$

Schritt 1.12

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$- 7 i + 10 \cdot - 1$

Schritt 1.13

Mutltipliziere $10$ mit $- 1$ .

$- 7 i - 10$

Schritt 2

Stelle $- 7 i$ und $- 10$ um.

$- 10 - 7 i$

Schritt 3

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 4

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 5

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 10$ und $b = - 7$ .

$| z | = \sqrt{{(- 7)}^{2} + {(- 10)}^{2}}$

Schritt 6

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 6.1

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + {(- 10)}^{2}}$

Schritt 6.2

Potenziere $- 10$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{49 + 100}$

Schritt 6.3

Addiere $49$ und $100$ .

$| z | = \sqrt{149}$

Schritt 7

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 7}{- 10})$

Schritt 8

Da der inverse Tangens von $\frac{- 7}{- 10}$ einen Winkel im dritten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $3.75231861$ .

$θ = 3.75231861$

Schritt 9

Substituiere die Werte von $θ = 3.75231861$ und $| z | = \sqrt{149}$ .

$\sqrt{149} (\cos (3.75231861) + i \sin (3.75231861))$