Trigonometrie Beispiele

$- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i - 4 \sqrt{3}$

Schritt 1

Stelle $- 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i$ und $- 4 \sqrt{3}$ um.

$- 4 \sqrt{3} - 4 - 4 i \sqrt{3} + 4 i$

Schritt 2

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 3

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 4

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = - 4 \sqrt{3}$ und $b = - 4$ .

$| z | = \sqrt{{(- 4)}^{2} + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 5

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1.1

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4 \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 5.1.2

Wende die Produktregel auf $- 4 \sqrt{3}$ an.

$| z | = \sqrt{16 + {(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.1.3

Potenziere $- 4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 5.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{16 + 16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Schritt 5.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{16 + 16 \cdot 3}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.1

Mutltipliziere $16$ mit $3$ .

$| z | = \sqrt{16 + 48}$

Schritt 5.3.2

Addiere $16$ und $48$ .

$| z | = \sqrt{64}$

Schritt 5.3.3

Schreibe $64$ als $8^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{8^{2}}$

Schritt 5.3.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 8$

Schritt 6

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}})$

Schritt 7

Da der inverse Tangens von $\frac{- 4}{- 4 \sqrt{3}}$ einen Winkel im dritten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $\frac{7 π}{6}$ .

$θ = \frac{7 π}{6}$

Schritt 8

Substituiere die Werte von $θ = \frac{7 π}{6}$ und $| z | = 8$ .

$8 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$