Trigonometrie Beispiele

$2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} i$

Schritt 1

Das ist die trigonometrische Form einer komplexen Zahl, wobei $| z |$ der Betrag und $θ$ der Winkel, der in der komplexen Ebene entsteht, ist.

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

Schritt 2

Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand vom Ursprung in der komplexen Zahlenebene.

$| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ , wobei $z = a + b i$

Schritt 3

Ersetze die tatsächlichen Werte von $a = 2 \sqrt{2}$ und $b = - 2 \sqrt{2}$ .

$| z | = \sqrt{{(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4

Ermittle $| z |$ .

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Schritt 4.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{2}$ an.

$| z | = \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2 + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.2.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{4 \cdot 2 + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + {(2 \sqrt{2})}^{2}}$

Schritt 4.3.2

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$| z | = \sqrt{8 + 2^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.3.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Schritt 4.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 4.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$| z | = \sqrt{8 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

Schritt 4.4.5

Berechne den Exponenten.

$| z | = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

Schritt 4.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$| z | = \sqrt{8 + 8}$

Schritt 4.5.2

Addiere $8$ und $8$ .

$| z | = \sqrt{16}$

Schritt 4.5.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

Schritt 4.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$| z | = 4$

Schritt 5

Der Winkel des Punkts in der komplexen Zahlenebene ist der inverse Tangens des Imaginärteils geteilt durch den Realteil.

$θ = \arctan (\frac{- 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}})$

Schritt 6

Da die Umkehrfunktion des Tangens von $\frac{- 2 \sqrt{2}}{2 \sqrt{2}}$ einen Winkel im vierten Quadranten ergibt, ist der Wert des Winkels $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Schritt 7

Substituiere die Werte von $θ = - \frac{π}{4}$ und $| z | = 4$ .

$4 (\cos (- \frac{π}{4}) + i \sin (- \frac{π}{4}))$