Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{9 π}{8}) \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 1

Der genau Wert von $\sin (\frac{9 π}{8})$ ist $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 1.1

Schreibe $\frac{9 π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$\sin (\frac{\frac{9 π}{4}}{2}) \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 1.2

Wende die Halbwinkelformel für den Sinus an

$(\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}) \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 1.3

Ändere das $\pm$ zu $-$ , da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}} \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4

Vereinfache $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{9 π}{4})}{2}}$ .

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Schritt 1.4.1

Subtrahiere ganze Umdrehungen von $2 π$ , bis der Winkel größer oder gleich $0$ und kleiner als $2 π$ ist.

$- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.6

Multipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.4.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.7

Schreibe $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.4.8.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 1.4.8.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{π}{8})$

Schritt 2

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{8})$ ist $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{π}{8}$ um als einen Winkel, für den die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind, dividiert durch $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Schritt 2.2

Wende die Halbwinkelformel $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ für den Kosinus an.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Schritt 2.3

Ändere das $\pm$ zu $+$ , da der Kosinus im ersten Quadranten positiv ist.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Schritt 2.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 2.5

Vereinfache $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Schritt 2.5.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 2.5.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Schritt 2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Schritt 2.5.4

Multipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 2.5.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.5.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$

Schritt 2.5.5

Schreibe $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ als $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Schritt 2.5.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Schritt 2.5.6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$

Schritt 3

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$- \frac{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3

Multipliziere $(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2 (2 - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (2 - \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{\sqrt{2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 + 2 (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.4

Multipliziere $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 3.4.1.4.1

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.4.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.4.4

Addiere $1$ und $1$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.5

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2^{1}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{4 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} - 2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2$ von $4$ .

$- \frac{\sqrt{2 - 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.3

Addiere $- 2 \sqrt{2}$ und $2 \sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2 + 0}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.4.4

Addiere $2$ und $0$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{4}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{\sqrt{2}}{4}$

Dezimalform:

$- 0.35355339 \dots$