Trigonometrie Beispiele

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) - \sin^{2} (\frac{θ}{3})$

Schritt 1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \cos (\frac{θ}{3})$ und $b = \sin (\frac{θ}{3})$ .

$(\cos (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3})) (\cos (\frac{θ}{3}) - \sin (\frac{θ}{3}))$

Schritt 2

Multipliziere $(\cos (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3})) (\cos (\frac{θ}{3}) - \sin (\frac{θ}{3}))$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (\frac{θ}{3}) (\cos (\frac{θ}{3}) - \sin (\frac{θ}{3})) + \sin (\frac{θ}{3}) (\cos (\frac{θ}{3}) - \sin (\frac{θ}{3}))$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \cos (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3})) + \sin (\frac{θ}{3}) (\cos (\frac{θ}{3}) - \sin (\frac{θ}{3}))$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \cos (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3})) + \sin (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Schritt 3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \cos (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3})) + \sin (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$ .

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Schritt 3.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\cos (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$ und $\sin (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3})$ neu an.

$\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) - \cos (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3}) + \cos (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Schritt 3.1.2

Addiere $- \cos (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3})$ und $\cos (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3})$ .

$\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + 0 + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Schritt 3.1.3

Addiere $\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3})$ und $0$ .

$\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere $\cos (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3})$ .

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Schritt 3.2.1.1

Potenziere $\cos (\frac{θ}{3})$ mit $1$ .

$\cos^{1} (\frac{θ}{3}) \cos (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $\cos (\frac{θ}{3})$ mit $1$ .

$\cos^{1} (\frac{θ}{3}) \cos^{1} (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Schritt 3.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\cos (\frac{θ}{3})}^{1 + 1} + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Schritt 3.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) + \sin (\frac{θ}{3}) (- \sin (\frac{θ}{3}))$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) - \sin (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3})$

Schritt 3.2.3

Multipliziere $- \sin (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3})$ .

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Schritt 3.2.3.1

Potenziere $\sin (\frac{θ}{3})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) - (\sin^{1} (\frac{θ}{3}) \sin (\frac{θ}{3}))$

Schritt 3.2.3.2

Potenziere $\sin (\frac{θ}{3})$ mit $1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) - (\sin^{1} (\frac{θ}{3}) \sin^{1} (\frac{θ}{3}))$

Schritt 3.2.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) - {\sin (\frac{θ}{3})}^{1 + 1}$

Schritt 3.2.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\cos^{2} (\frac{θ}{3}) - \sin^{2} (\frac{θ}{3})$

Schritt 4

Wende die Doppelwinkelfunktion für den Kosinus an.

$\cos (2 \frac{θ}{3})$

Schritt 5

Kombiniere $2$ und $\frac{θ}{3}$ .

$\cos (\frac{2 θ}{3})$