Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \cos (x + 2) + 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ als Gleichung.

$y = \cos (x + 2) + 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \cos (y + 2) + 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\cos (y + 2) + 1 = x$ um.

$\cos (y + 2) + 1 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\cos (y + 2) = x - 1$

Schritt 3.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$y + 2 = \arccos (x - 1)$

Schritt 3.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = \arccos (x - 1) - 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos ((\cos (x + 2) + 1) - 1) - 2$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\arccos ((\cos (x + 2) + 1) - 1) - 2$ .

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Schritt 5.2.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos (\cos (x + 2) + 0) - 2$

Schritt 5.2.3.2

Addiere $\cos (x + 2)$ und $0$ .

$f^{- 1} (\cos (x + 2) + 1) = \arccos (\cos (x + 2)) - 2$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\arccos (x - 1) - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos ((\arccos (x - 1) - 2) + 2) + 1$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\cos ((\arccos (x - 1) - 2) + 2) + 1$ .

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos (\arccos (x - 1) + 0) + 1$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\arccos (x - 1)$ und $0$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = \cos (\arccos (x - 1)) + 1$

Schritt 5.3.4

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x - 1 + 1$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.3.5.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\arccos (x - 1) - 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \cos (x + 2) + 1$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (x - 1) - 2$