Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ als Gleichung.

$y = \sqrt[3]{4 x - 1}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt[3]{4 y - 1}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt[3]{4 y - 1} = x$ um.

$\sqrt[3]{4 y - 1} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, erhebe beide Seiten der Gleichung zur dritten Potenz.

${\sqrt[3]{4 y - 1}}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 y - 1}$ als ${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 y - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 y - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 y - 1)}^{1} = x^{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$4 y - 1 = x^{3}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = x^{3} + 1$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{3} + 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{3} + 1$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{4 x - 1})}^{3}}{4} + \frac{1}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(\sqrt[3]{4 x - 1})}^{3} + 1}{4}$

Schritt 5.2.4

Schreibe ${\sqrt[3]{4 x - 1}}^{3}$ als $4 x - 1$ um.

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Schritt 5.2.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{4 x - 1}$ als ${(4 x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{({(4 x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 1}{4}$

Schritt 5.2.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 1}{4}$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1}{4}$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{{(4 x - 1)}^{\frac{3}{3}} + 1}{4}$

Schritt 5.2.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{(4 x - 1) + 1}{4}$

Schritt 5.2.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x - 1 + 1}{4}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt[3]{4 x - 1}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) - 1}$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4}) + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{4 (\frac{x^{3}}{4}) + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 4 (\frac{1}{4}) - 1}$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 1 - 1}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.3.6.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Schritt 5.3.6.2

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.3.7

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt[3]{4 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{1}{4}$