Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \cos^{5} (x)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \cos^{5} (x)$ als Gleichung.

$y = \cos^{5} (x)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \cos^{5} (y)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\cos^{5} (y) = x$ um.

$\cos^{5} (y) = x$

Schritt 3.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\cos (y) = \sqrt[5]{x}$

Schritt 3.3

Wende den inversen Kosinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Kosinus herauszuziehen.

$y = \arccos (\sqrt[5]{x})$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \arccos (\sqrt[5]{x})$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \arccos (\sqrt[5]{x})$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \cos^{5} (x)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\cos^{5} (x))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos^{5} (x)) = \arccos (\sqrt[5]{\cos^{5} (x)})$

Schritt 5.2.3

Entferne die Klammern.

$f^{- 1} (\cos^{5} (x)) = \arccos (\sqrt[5]{\cos^{5} (x)})$

Schritt 5.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\cos^{5} (x)) = \arccos (\cos (x))$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\arccos (\sqrt[5]{x}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = \cos^{5} (\arccos (\sqrt[5]{x}))$

Schritt 5.3.3

Die Funktionen Kosinus und Arkuskosinus sind Inverse.

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = {\sqrt[5]{x}}^{5}$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ als $x$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x}$ als $x^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = {(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x^{\frac{5}{5}}$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x^{\frac{5}{5}}$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache.

$f (\arccos (\sqrt[5]{x})) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \arccos (\sqrt[5]{x})$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \cos^{5} (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (\sqrt[5]{x})$