Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$ als Gleichung.

$y = \frac{3 x}{5 x - 2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3 y}{5 y - 2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $5 y - 2$ .

$(5 y - 2) (x) = (\frac{3 y}{5 y - 2}) (5 y - 2)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 y x - 2 x = (\frac{3 y}{5 y - 2}) (5 y - 2)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 y - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 y x - 2 x = \frac{3 y}{5 y - 2} (5 y - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$5 y x - 2 x = 3 y$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y x - 2 x - 3 y = 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y x - 3 y = 2 x$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $5 y x - 3 y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $5 y x$ heraus.

$y (5 x) - 3 y = 2 x$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y$ heraus.

$y (5 x) + y \cdot - 3 = 2 x$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (5 x) + y \cdot - 3$ heraus.

$y (5 x - 3) = 2 x$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (5 x - 3) = 2 x$ durch $5 x - 3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (5 x - 3) = 2 x$ durch $5 x - 3$ .

$\frac{y (5 x - 3)}{5 x - 3} = \frac{2 x}{5 x - 3}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 x - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (5 x - 3)}{5 x - 3} = \frac{2 x}{5 x - 3}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{2 x}{5 x - 3}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{5 x - 2})}{5 (\frac{3 x}{5 x - 2}) - 3}$

Schritt 5.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3 x}{5 x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{5 (\frac{3 x}{5 x - 2}) - 3}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Multipliziere $5 \frac{3 x}{5 x - 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1.1

Kombiniere $5$ und $\frac{3 x}{5 x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{5 (3 x)}{5 x - 2} - 3}$

Schritt 5.2.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x}{5 x - 2} - 3}$

Schritt 5.2.4.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 x - 2}{5 x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x}{5 x - 2} - 3 \cdot \frac{5 x - 2}{5 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{5 x - 2}{5 x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x}{5 x - 2} + \frac{- 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{15 x - 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5

Schreibe $\frac{15 x - 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.5.1

Faktorisiere $3$ aus $15 x - 3 (5 x - 2)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.5.1.1

Faktorisiere $3$ aus $15 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x) - 3 (5 x - 2)}{5 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 (5 x - 2)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x) + 3 (- (5 x - 2))}{5 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (5 x) + 3 (- (5 x - 2))$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - (5 x - 2))}{5 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - (5 x) + 2)}{5 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - 5 x + 2)}{5 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (5 x - 5 x + 2)}{5 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.5

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 (0 + 2)}{5 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.5.6

Addiere $0$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{3 \cdot 2}{5 x - 2}}$

Schritt 5.2.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{5 x - 2}}{\frac{6}{5 x - 2}}$

Schritt 5.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{5 x - 2}}{\frac{6}{5 x - 2}}$

Schritt 5.2.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{6 x}{5 x - 2} \cdot \frac{5 x - 2}{6}$

Schritt 5.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{6 (x)}{5 x - 2} \cdot \frac{5 x - 2}{6}$

Schritt 5.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{6 x}{5 x - 2} \cdot \frac{5 x - 2}{6}$

Schritt 5.2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{x}{5 x - 2} \cdot (5 x - 2)$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = \frac{x}{5 x - 2} \cdot (5 x - 2)$

Schritt 5.2.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 x}{5 x - 2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{2 x}{5 x - 3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{5 x - 3})}{5 (\frac{2 x}{5 x - 3}) - 2}$

Schritt 5.3.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2 x}{5 x - 3}$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{5 (\frac{2 x}{5 x - 3}) - 2}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Multipliziere $5 \frac{2 x}{5 x - 3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1.1

Kombiniere $5$ und $\frac{2 x}{5 x - 3}$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{5 (2 x)}{5 x - 3} - 2}$

Schritt 5.3.4.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x}{5 x - 3} - 2}$

Schritt 5.3.4.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5 x - 3}{5 x - 3}$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x}{5 x - 3} - 2 \cdot \frac{5 x - 3}{5 x - 3}}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{5 x - 3}{5 x - 3}$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x}{5 x - 3} + \frac{- 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{10 x - 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

Schritt 5.3.4.5

Schreibe $\frac{10 x - 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.5.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x - 2 (5 x - 3)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10 x$ heraus.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x) - 2 (5 x - 3)}{5 x - 3}}$

Schritt 5.3.4.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (5 x - 3)$ heraus.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x) + 2 (- (5 x - 3))}{5 x - 3}}$

Schritt 5.3.4.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5 x) + 2 (- (5 x - 3))$ heraus.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - (5 x - 3))}{5 x - 3}}$

Schritt 5.3.4.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - (5 x) + 3)}{5 x - 3}}$

Schritt 5.3.4.5.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - 5 x + 3)}{5 x - 3}}$

Schritt 5.3.4.5.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (5 x - 5 x + 3)}{5 x - 3}}$

Schritt 5.3.4.5.5

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 (0 + 3)}{5 x - 3}}$

Schritt 5.3.4.5.6

Addiere $0$ und $3$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{2 \cdot 3}{5 x - 3}}$

Schritt 5.3.4.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{5 x - 3}}{\frac{6}{5 x - 3}}$

Schritt 5.3.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{\frac{6 x}{5 x - 3}}{\frac{6}{5 x - 3}}$

Schritt 5.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{6 x}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{6}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.7.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{6 (x)}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{6}$

Schritt 5.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{6 x}{5 x - 3} \cdot \frac{5 x - 3}{6}$

Schritt 5.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{x}{5 x - 3} \cdot (5 x - 3)$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 x - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = \frac{x}{5 x - 3} \cdot (5 x - 3)$

Schritt 5.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2 x}{5 x - 3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3 x}{5 x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2 x}{5 x - 3}$