Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{3} \cdot (2 y - 3)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3) = x$ um.

$\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3) = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3)) = 3 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache $3 (\frac{1}{3} \cdot (2 y - 3))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 (\frac{1}{3} (2 y) + \frac{1}{3} \cdot - 3) = 3 x$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $\frac{1}{3} (2 y)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{2}{3} y + \frac{1}{3} \cdot - 3) = 3 x$

Schritt 3.3.1.2.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y$ .

$3 (\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3) = 3 x$

Schritt 3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$3 (\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))) = 3 x$

Schritt 3.3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{2 y}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)) = 3 x$

Schritt 3.3.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$3 (\frac{2 y}{3} - 1) = 3 x$

Schritt 3.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 \frac{2 y}{3} + 3 \cdot - 1 = 3 x$

Schritt 3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{2 y}{3} + 3 \cdot - 1 = 3 x$

Schritt 3.3.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$2 y + 3 \cdot - 1 = 3 x$

Schritt 3.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 y - 3 = 3 x$

Schritt 3.4

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 3 x + 3$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 3 x + 3$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 3 x + 3$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3))}{2} + \frac{3}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) + 3}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{1}{3} \cdot (2 x) + \frac{1}{3} \cdot - 3) + 3}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Multipliziere $\frac{1}{3} (2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 3) + 3}{2}$

Schritt 5.2.4.2.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 3) + 3}{2}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 (- 1))) + 3}{2}$

Schritt 5.2.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)) + 3}{2}$

Schritt 5.2.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} - 1) + 3}{2}$

Schritt 5.2.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot - 1 + 3}{2}$

Schritt 5.2.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{3 (\frac{2 x}{3}) + 3 \cdot - 1 + 3}{2}$

Schritt 5.2.4.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x + 3 \cdot - 1 + 3}{2}$

Schritt 5.2.4.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x - 3 + 3}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 3 + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (2 (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) - 3)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (2 (\frac{3 x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (2 (\frac{3 x}{2}) + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 2 (\frac{3}{2}) - 3)$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 3 - 3)$

Schritt 5.3.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x + 3 - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x + 0)$

Schritt 5.3.4.1.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x))$

Schritt 5.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = \frac{1}{3} \cdot (3 x)$

Schritt 5.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{3} \cdot (2 x - 3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2}$