Trigonometrie Beispiele

$f (x) = \frac{1}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{1}{5} \cdot (x - 2)$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{5} \cdot (x - 2)$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{1}{5} \cdot (y - 2)$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{5} \cdot (y - 2) = x$ um.

$\frac{1}{5} \cdot (y - 2) = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $5$ .

$5 (\frac{1}{5} \cdot (y - 2)) = 5 x$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $5 (\frac{1}{5} \cdot (y - 2))$ .

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Schritt 3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 (\frac{1}{5} y + \frac{1}{5} \cdot - 2) = 5 x$

Schritt 3.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $y$ .

$5 (\frac{y}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 2) = 5 x$

Schritt 3.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 2$ .

$5 (\frac{y}{5} + \frac{- 2}{5}) = 5 x$

Schritt 3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$5 (\frac{y}{5} - \frac{2}{5}) = 5 x$

Schritt 3.3.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \frac{y}{5} + 5 (- \frac{2}{5}) = 5 x$

Schritt 3.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{y}{5} + 5 (- \frac{2}{5}) = 5 x$

Schritt 3.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$y + 5 (- \frac{2}{5}) = 5 x$

Schritt 3.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

$y + 5 (\frac{- 2}{5}) = 5 x$

Schritt 3.3.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + 5 (\frac{- 2}{5}) = 5 x$

Schritt 3.3.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$y - 2 = 5 x$

Schritt 3.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 5 x + 2$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 5 x + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 5 x + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{1}{5} \cdot (x - 2)$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) = 5 (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) = 5 (\frac{1}{5} x + \frac{1}{5} \cdot - 2) + 2$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) = 5 (\frac{x}{5} + \frac{1}{5} \cdot - 2) + 2$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) = 5 (\frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}) + 2$

Schritt 5.2.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) = 5 (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 2$

Schritt 5.2.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) = 5 (\frac{x}{5}) + 5 (- \frac{2}{5}) + 2$

Schritt 5.2.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) = 5 (\frac{x}{5}) + 5 (- \frac{2}{5}) + 2$

Schritt 5.2.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) = x + 5 (- \frac{2}{5}) + 2$

Schritt 5.2.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{5}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) = x + 5 (\frac{- 2}{5}) + 2$

Schritt 5.2.3.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) = x + 5 (\frac{- 2}{5}) + 2$

Schritt 5.2.3.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{5} \cdot (x - 2)) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (5 x + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (5 x + 2) = \frac{1}{5} \cdot ((5 x + 2) - 2)$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(5 x + 2) - 2$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (5 x + 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x + 0)$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f (5 x + 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$f (5 x + 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

Schritt 5.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (5 x + 2) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Schritt 5.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (5 x + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 5 x + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{1}{5} \cdot (x - 2)$ .

$f^{- 1} (x) = 5 x + 2$