Trigonometrie Beispiele

$f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$

Schritt 1

Schreibe $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ als Gleichung.

$y = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$t = \frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π = t$ um.

$\frac{1}{2} \cdot \sec (y + 2) - π = t$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec (y + 2)$ .

$\frac{\sec (y + 2)}{2} - π = t$

Schritt 3.3

Addiere $π$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{\sec (y + 2)}{2} = t + π$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 \frac{\sec (y + 2)}{2} = 2 (t + π)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\sec (y + 2)}{2} = 2 (t + π)$

Schritt 3.5.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (y + 2) = 2 (t + π)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (y + 2) = 2 t + 2 π$

Schritt 3.6

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Sekans zu ziehen.

$y + 2 = arcsec (2 t + 2 π)$

Schritt 3.7

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = arcsec (2 t + 2 π) - 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (t)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$ die Umkehrfunktion von $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (t)) = t$ ist und $f (f^{- 1} (t)) = t$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (t))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (t))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) + 2 π) - 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sec (t + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2} - π) + 2 π) - 2$

Schritt 5.2.3.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2}) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

Schritt 5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (2 (\frac{\sec (t + 2)}{2}) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) + 2 (- π) + 2 π) - 2$

Schritt 5.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) - 2 π + 2 π) - 2$

Schritt 5.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sec (t + 2) - 2 π + 2 π$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Addiere $- 2 π$ und $2 π$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2) + 0) - 2$

Schritt 5.2.3.2.2

Addiere $\sec (t + 2)$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π) = arcsec (\sec (t + 2)) - 2$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (t))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (t))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (arcsec (2 t + 2 π) - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec ((arcsec (2 t + 2 π) - 2) + 2) - π$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{1}{2} \cdot \sec ((arcsec (2 t + 2 π) - 2) + 2) - π$ .

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec (arcsec (2 t + 2 π) + 0) - π$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $arcsec (2 t + 2 π)$ und $0$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot \sec (arcsec (2 t + 2 π)) - π$

Schritt 5.3.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.1

Die Funktionen Sekans und Arkussekans sind Inverse.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t + 2 π) - π$

Schritt 5.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Schritt 5.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.3.1

Faktorisiere $2$ aus $2 t$ heraus.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 (t)) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Schritt 5.3.4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = \frac{1}{2} \cdot (2 t) + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Schritt 5.3.4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π$ heraus.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 (π)) - π$

Schritt 5.3.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + \frac{1}{2} \cdot (2 π) - π$

Schritt 5.3.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + π - π$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $t + π - π$ .

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Schritt 5.3.5.1

Subtrahiere $π$ von $π$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $t$ und $0$ .

$f (arcsec (2 t + 2 π) - 2) = t$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (t)) = t$ und $f (f^{- 1} (t)) = t$ gleich sind, ist $f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (t) = \frac{1}{2} \cdot \sec (t + 2) - π$ .

$f^{- 1} (t) = arcsec (2 t + 2 π) - 2$