Trigonometrie Beispiele

$f (x) = {\tan (2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Wandel Ausdrücke mit gebrochenen Exponenten in Wurzeln um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wende die Regel $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ an, um die Potenz als Wurzel umzuschreiben.

$\sqrt{\tan^{1} (2 x)}$

Schritt 1.2

Alles, was auf $1$ angehoben wird, ist die Basis selbst.

$\sqrt{\tan (2 x)}$

Schritt 2

Setze den Radikanden in $\sqrt{\tan (2 x)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$\tan (2 x) \geq 0$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$2 x \geq \arctan (0)$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$2 x \geq 0$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 0$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x \geq 0$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{0}{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \geq \frac{0}{2}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x \geq 0$

Schritt 3.4

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$2 x = π + 0$

Schritt 3.5

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Addiere $π$ und $0$ .

$2 x = π$

Schritt 3.5.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = π$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 3.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Schritt 3.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Schritt 3.6

Ermittele die Periode von $\tan (2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 3.6.2

Ersetze $b$ durch $2$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 2 |}$

Schritt 3.6.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$\frac{π}{2}$

Schritt 3.7

Die Periode der Funktion $\tan (2 x)$ ist $\frac{π}{2}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{2}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.8

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.9

Bestimme den Definitionsbereich von $\tan (2 x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.1

Setze das Argument in $\tan (2 x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.9.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2} + π n$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2} + π n$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Schritt 3.9.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Schritt 3.9.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Schritt 3.9.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Schritt 3.9.2.3.1.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.9.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Schritt 3.9.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Schritt 3.9.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 3.10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < \frac{π}{4}$

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$

Schritt 3.11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{π}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{π}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.39$

Schritt 3.11.1.2

Ersetze $x$ durch $0.39$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (2 (0.39)) \geq 0$

Schritt 3.11.1.3

Die linke Seite $0.98926153$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 3.11.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 3.11.2.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (2 (1)) \geq 0$

Schritt 3.11.2.3

Die linke Seite $- 2.18503986$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 3.11.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < \frac{π}{4}$ Wahr

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Falsch

$0 < x < \frac{π}{4}$ Wahr

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{2}$ Falsch

Schritt 3.12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 + \frac{π n}{2} \leq x < \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4

Setze das Argument in $\tan (2 x)$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 x = \frac{π}{2} + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2} + π n$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{π}{2} + π n$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2} + \frac{π n}{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{π n}{2}$

Schritt 5.3.1.2

Multipliziere $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2} + \frac{π n}{2}$

Schritt 5.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$

Schritt 6

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich und den Wertebereich.

Definitionsbereich: ${x | x = 0 + \frac{π n}{2}, x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, x \neq \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}}$

Wertebereich:

Schritt 8