Trigonometrie Beispiele

$(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$r = \sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$r = \sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{\sqrt{3}}{2}$ an.

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{2^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{1 + 3}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.3

Addiere $1$ und $3$ .

$r = \sqrt{\frac{4}{4}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.4

Dividiere $4$ durch $4$ .

$r = \sqrt{1}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 1$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $\sqrt{3}$ ist $θ = 60 °$ .

$r = 1$

$θ = 60 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(1, 60 °)$