Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) > 0$ , $\tan (x) < 0$

Schritt 1

Vereinfache die erste Ungleichung.

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Schritt 1.1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$x > \arcsin (0)$ und $\tan (x) < 0$

Schritt 1.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.1

Der genau Wert von $\arcsin (0)$ ist $0$ .

$x > 0$ und $\tan (x) < 0$

Schritt 1.3

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$x = π - 0$ und $\tan (x) < 0$

Schritt 1.4

Subtrahiere $0$ von $π$ .

$x = π$ und $\tan (x) < 0$

Schritt 1.5

Ermittele die Periode von $\sin (x)$ .

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Schritt 1.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 1.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 1.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 1.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 1.6

Die Periode der Funktion $\sin (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ und $\tan (x) < 0$

Schritt 1.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = π n$ und $\tan (x) < 0$

Schritt 1.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 < x < π$

$π < x < 2 π$ und $\tan (x) < 0$

Schritt 1.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 1.9.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$ und $\tan (x) < 0$

Schritt 1.9.1.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2) > 0$ und $\tan (x) < 0$

Schritt 1.9.1.3

Die linke Seite $0.90929742$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr und $\tan (x) < 0$

Schritt 1.9.2

Teste einen Wert im Intervall $π < x < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 1.9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < x < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$ und $\tan (x) < 0$

Schritt 1.9.2.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (5) > 0$ und $\tan (x) < 0$

Schritt 1.9.2.3

Die linke Seite $- 0.95892427$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch und $\tan (x) < 0$

Schritt 1.9.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 < x < π$ Wahr

$π < x < 2 π$ False and $\tan (x) < 0$

$0 < x < π$ Wahr

$π < x < 2 π$ False and $\tan (x) < 0$

Schritt 1.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ und $\tan (x) < 0$

Schritt 2

Vereinfache die zweite Ungleichung.

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Schritt 2.1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ und $x < \arctan (0)$

Schritt 2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.2.1

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ und $x < 0$

Schritt 2.3

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ und $x = π + 0$

Schritt 2.4

Addiere $π$ und $0$ .

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ und $x = π$

Schritt 2.5

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

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Schritt 2.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 2.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 2.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 2.5.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 2.6

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ und $x = π n, π + π n$

Schritt 2.7

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ und $x = π n$

Schritt 2.8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ und $0 < x < π$

Schritt 2.9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 2.9.1

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 2.9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ und $x = 2$

Schritt 2.9.1.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ und $\tan (2) < 0$

Schritt 2.9.1.3

Die linke Seite $- 2.18503986$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ and True

Schritt 2.9.2

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ and $0 < x < π$ True

Schritt 2.10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$0 + 2 π n < x < π + 2 π n$ und $0 + π n < x < π + π n$

Schritt 3