Trigonometrie Beispiele

$\log_{2} (\sqrt{5}) - \log_{2} (\sqrt{40})$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{40}})$

Schritt 2

Vereinige $\sqrt{5}$ und $\sqrt{40}$ zu einer einzigen Wurzel.

$\log_{2} (\sqrt{\frac{5}{40}})$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $40$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\log_{2} (\sqrt{\frac{5 (1)}{40}})$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $40$ heraus.

$\log_{2} (\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}})$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\sqrt{\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 8}})$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (\sqrt{\frac{1}{8}})$

Schritt 4

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{8}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}$ um.

$\log_{2} (\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}})$

Schritt 5

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{8}})$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{4 (2)}})$

Schritt 6.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\log_{2} (\frac{1}{\sqrt{2^{2} \cdot 2}})$

Schritt 6.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\log_{2} (\frac{1}{2 \sqrt{2}})$

Schritt 7

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{1}{2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Schritt 8

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{2} \sqrt{2}})$

Schritt 8.2

Bewege $\sqrt{2}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 (\sqrt{2} \sqrt{2})})$

Schritt 8.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})})$

Schritt 8.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})})$

Schritt 8.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Schritt 8.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 {\sqrt{2}}^{2}})$

Schritt 8.7

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 8.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 8.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 8.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 8.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 8.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2^{1}})$

Schritt 8.7.5

Berechne den Exponenten.

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 9

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{4})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\log_{2} (\frac{\sqrt{2}}{4})$

Dezimalform:

$- 1.5$