Trigonometrie Beispiele

$(3 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$

Schritt 1

Benutze die Umrechnungsformeln, um von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umzurechnen.

$x = r c o s θ$

$y = r s i n θ$

Schritt 2

Setze die bekannten Werte von $r = 3 \sqrt{2}$ und $θ = \frac{5 π}{4}$ in die Formeln ein.

$x = (3 \sqrt{2}) \cos (\frac{5 π}{4})$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 3

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Kosinus im dritten Quadranten negativ ist.

$x = 3 \sqrt{2} (- \cos (\frac{π}{4}))$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = 3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5

Multipliziere $3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - 3 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $- 3$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \cdot - 3}{2} \cdot \sqrt{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{2} \cdot - 3}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$x = \frac{\sqrt{2} \cdot (- 3 \sqrt{2})}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5.5

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = \frac{- 3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = \frac{- 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 5.7

Addiere $1$ und $1$ .

$x = \frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = \frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = \frac{- 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 6.5

Berechne den Exponenten.

$x = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{- 6}{2}$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 7.2

Dividiere $- 6$ durch $2$ .

$x = - 3$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

$x = - 3$

$y = (3 \sqrt{2}) \sin (\frac{5 π}{4})$

Schritt 8

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Sinus im dritten Quadranten negativ ist.

$x = - 3$

$y = 3 \sqrt{2} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 9

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 3$

$y = 3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 10

Multipliziere $3 \sqrt{2} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x = - 3$

$y = - 3 \sqrt{2} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Schritt 10.2

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $- 3$ .

$x = - 3$

$y = \frac{\sqrt{2} \cdot - 3}{2} \cdot \sqrt{2}$

Schritt 10.3

Kombiniere $\frac{\sqrt{2} \cdot - 3}{2}$ und $\sqrt{2}$ .

$x = - 3$

$y = \frac{\sqrt{2} \cdot (- 3 \sqrt{2})}{2}$

Schritt 10.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Schritt 10.5

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 (\sqrt{2} \sqrt{2})}{2}$

Schritt 10.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}$

Schritt 10.7

Addiere $1$ und $1$ .

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 {\sqrt{2}}^{2}}{2}$

Schritt 11

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 11.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Schritt 11.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Schritt 11.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 11.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 11.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2}$

Schritt 11.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 11.5

Berechne den Exponenten.

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

$x = - 3$

$y = \frac{- 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 12.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$x = - 3$

$y = \frac{- 6}{2}$

Schritt 12.2

Dividiere $- 6$ durch $2$ .

$x = - 3$

$y = - 3$

$x = - 3$

$y = - 3$

Schritt 13

Die kartesische Darstellung des Punktes mit den Polarkoordinaten $(3 \sqrt{2}, \frac{5 π}{4})$ ist $(- 3, - 3)$ .

$(- 3, - 3)$