Trigonometrie Beispiele

$(- 2 \sqrt{2}, - 2 \sqrt{2})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(- 2 \sqrt{2})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.1.1

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{2}$ an.

$r = \sqrt{{(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.1.2

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{4 \cdot 2 + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 \cdot 2 + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{4 \cdot 2 + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{4 \cdot 2 + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$r = \sqrt{8 + {(- 2 \sqrt{2})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.2

Wende die Produktregel auf $- 2 \sqrt{2}$ an.

$r = \sqrt{8 + {(- 2)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$r = \sqrt{8 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{8 + 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$r = \sqrt{8 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$r = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$r = \sqrt{8 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$r = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4.5

Berechne den Exponenten.

$r = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{8 + 4 \cdot 2}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$r = \sqrt{8 + 8}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5.2

Addiere $8$ und $8$ .

$r = \sqrt{16}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5.3

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$r = \sqrt{4^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = 4$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 4$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = 4$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = 4$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- 2 \sqrt{2}}{- 2 \sqrt{2}})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $1$ ist $θ = 225 °$ .

$r = 4$

$θ = 225 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(4, 225 °)$