Trigonometrie Beispiele

$(- 5, - \frac{π}{6})$

Schritt 1

Wandle von rechteckigen Koordinaten $(x, y)$ in Polarkoordinaten $(r, θ)$ um unter Verwendung der Umrechnungsformeln.

$r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- \frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3

Ermittle den Betrag der Polarkoordinate.

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Schritt 3.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$r = \sqrt{25 + {(- \frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{π}{6}$ an.

$r = \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} {(\frac{π}{6})}^{2}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{π}{6}$ an.

$r = \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} (\frac{π^{2}}{6^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{25 + {(- 1)}^{2} (\frac{π^{2}}{6^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$r = \sqrt{25 + 1 (\frac{π^{2}}{6^{2}})}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $\frac{π^{2}}{6^{2}}$ mit $1$ .

$r = \sqrt{25 + \frac{π^{2}}{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.5

Potenziere $6$ mit $2$ .

$r = \sqrt{25 + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.6

Um $25$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{36}{36}$ .

$r = \sqrt{25 \cdot \frac{36}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.7

Kombiniere $25$ und $\frac{36}{36}$ .

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 36}{36} + \frac{π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$r = \sqrt{\frac{25 \cdot 36 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $25$ mit $36$ .

$r = \sqrt{\frac{900 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \sqrt{\frac{900 + π^{2}}{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.9

Schreibe $\sqrt{\frac{900 + π^{2}}{36}}$ als $\frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$ um.

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{\sqrt{36}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.10.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{\sqrt{6^{2}}}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 3.10.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{y}{x})$

Schritt 4

Ersetze $x$ und $y$ durch die tatsächlichen Werte.

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{6}$

$θ = t a n^{- 1} (\frac{- \frac{π}{6}}{- 5})$

Schritt 5

Der inverse Tangens von $\frac{π}{30}$ ist $θ = 185.97821073 °$ .

$r = \frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{6}$

$θ = 185.97821073 °$

Schritt 6

Dies ist das Ergebnis der Umwandlung in Polarkoordinaten in $(r, θ)$ -Form.

$(\frac{\sqrt{900 + π^{2}}}{6}, 185.97821073 °)$