Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) = \frac{5}{7}$ , $\cos (x) = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$

Schritt 1

Um den Wert von $\tan (x)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{\frac{5}{7}}{\frac{2 \sqrt{6}}{7}}$

Schritt 2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5}{7} \cdot \frac{7}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 5 (\frac{1}{2 \sqrt{6}})$

Schritt 2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2 \sqrt{6}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 2.5.2

Bewege $\sqrt{6}$ .

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 2.5.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 2.5.4

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 2.5.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 2.5.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 2.5.7

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 2.5.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.5.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.5.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.5.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.5.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 2.5.7.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\tan (x) = \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

Schritt 3

Um den Wert von $\cot (x)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\tan (x)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{1}{\frac{5 \sqrt{6}}{12}}$

Schritt 4

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 4.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = 1 (\frac{12}{5 \sqrt{6}})$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{12}{5 \sqrt{6}}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12}{5 \sqrt{6}}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $\frac{12}{5 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12}{5 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 4.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.4.1

Mutltipliziere $\frac{12}{5 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12 \sqrt{6}}{5 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 4.4.2

Bewege $\sqrt{6}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12 \sqrt{6}}{5 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 4.4.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12 \sqrt{6}}{5 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 4.4.4

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12 \sqrt{6}}{5 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 4.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12 \sqrt{6}}{5 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 4.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12 \sqrt{6}}{5 {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 4.4.7

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 4.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12 \sqrt{6}}{5 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 4.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12 \sqrt{6}}{5 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 4.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12 \sqrt{6}}{5 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12 \sqrt{6}}{5 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 4.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12 \sqrt{6}}{5 \cdot 6}$

Schritt 4.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{12 \sqrt{6}}{5 \cdot 6}$

Schritt 4.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $6$ .

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Schritt 4.5.1

Faktorisiere $6$ aus $12 \sqrt{6}$ heraus.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{6 (2 \sqrt{6})}{5 \cdot 6}$

Schritt 4.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.5.2.1

Faktorisiere $6$ aus $5 \cdot 6$ heraus.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{6 (2 \sqrt{6})}{6 \cdot 5}$

Schritt 4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{6 (2 \sqrt{6})}{6 \cdot 5}$

Schritt 4.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\cot (x) = \frac{1}{\tan (x)} = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

Schritt 5

Um den Wert von $\sec (x)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\cos (x)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{1}{\frac{2 \sqrt{6}}{7}}$

Schritt 6

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 6.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = 1 (\frac{7}{2 \sqrt{6}})$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $\frac{7}{2 \sqrt{6}}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7}{2 \sqrt{6}}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\frac{7}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7}{2 \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Schritt 6.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $\frac{7}{2 \sqrt{6}}$ mit $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7 \sqrt{6}}{2 \sqrt{6} \sqrt{6}}$

Schritt 6.4.2

Bewege $\sqrt{6}$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 6.4.3

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 6.4.4

Potenziere $\sqrt{6}$ mit $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7 \sqrt{6}}{2 (\sqrt{6} \sqrt{6})}$

Schritt 6.4.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.4.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7 \sqrt{6}}{2 {\sqrt{6}}^{2}}$

Schritt 6.4.7

Schreibe ${\sqrt{6}}^{2}$ als $6$ um.

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Schritt 6.4.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{6}$ als $6^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7 \sqrt{6}}{2 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.4.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.4.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.4.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.4.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 6.4.7.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7 \sqrt{6}}{2 \cdot 6}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\sec (x) = \frac{1}{\cos (x)} = \frac{7 \sqrt{6}}{12}$

Schritt 7

Um den Wert von $\csc (x)$ zu bestimmen, wende die Tatsache, dass $\frac{1}{\sin (x)}$ , an und setze dann die bekannten Werte ein.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{1}{\frac{5}{7}}$

Schritt 8

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = 1 (\frac{7}{5})$

Schritt 8.2

Mutltipliziere $\frac{7}{5}$ mit $1$ .

$\csc (x) = \frac{1}{\sin (x)} = \frac{7}{5}$

Schritt 9

Die ermittelten trigonometrischen Funktionen sind wie folgt:

$\sin (x) = \frac{5}{7}$

$\cos (x) = \frac{2 \sqrt{6}}{7}$

$\tan (x) = \frac{5 \sqrt{6}}{12}$

$\cot (x) = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$

$\sec (x) = \frac{7 \sqrt{6}}{12}$

$\csc (x) = \frac{7}{5}$