Trigonometrie Beispiele

$\sin (θ) = \frac{5}{6}$

Schritt 1

Benutze die Definition des Sinus, um die bekannten Seiten des rechtwinkligen Dreiecks im Einheitskreis zu ermitteln. Der Quadrant bestimmt das Vorzeichen jedes Wertes.

$\sin (θ) = \frac{gegenüber}{Hypotenuse}$

Schritt 2

Berechne die Ankathete des Dreiecks im Einheitskreis. Da die Hypotenuse und die Gegenkathete bekannt sind, kannst du den Satz des Pythagoras anwenden, um die verbleibende Seite zu berechnen.

$Ankathete = \sqrt{{Hypotenuse}^{2} - {gegenüber}^{2}}$

Schritt 3

Ersetze die bekannten Werte in der Gleichung.

$Ankathete = \sqrt{{(6)}^{2} - {(5)}^{2}}$

Schritt 4

Vereinfache den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen.

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Schritt 4.1

Potenziere $6$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{36 - {(5)}^{2}}$

Schritt 4.2

Potenziere $5$ mit $2$ .

Ankathete $= \sqrt{36 - 1 \cdot 25}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

Ankathete $= \sqrt{36 - 25}$

Schritt 4.4

Subtrahiere $25$ von $36$ .

Ankathete $= \sqrt{11}$

Schritt 5

Berechne den Wert des Kosinus.

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Schritt 5.1

Bestimme den Wert von $\cos (θ)$ mithilfe der Definition des Kosinus.

$\cos (θ) = \frac{adj}{hyp}$

Schritt 5.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{11}}{6}$

Schritt 6

Bestimme den Wert des Tangens.

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Schritt 6.1

Benutze die Definition des Tangens, um den Wert von $\tan (θ)$ zu ermitteln.

$\tan (θ) = \frac{opp}{adj}$

Schritt 6.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\tan (θ) = \frac{5}{\sqrt{11}}$

Schritt 6.3

Vereinfache den Wert von $\tan (θ)$ .

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Schritt 6.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\tan (θ) = \frac{5}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Schritt 6.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{\sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\tan (θ) = \frac{5 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 6.3.2.2

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{5 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 6.3.2.3

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\tan (θ) = \frac{5 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 6.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\tan (θ) = \frac{5 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan (θ) = \frac{5 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

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Schritt 6.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\tan (θ) = \frac{5 \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (θ) = \frac{5 \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\tan (θ) = \frac{5 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (θ) = \frac{5 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (θ) = \frac{5 \sqrt{11}}{11}$

Schritt 6.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\tan (θ) = \frac{5 \sqrt{11}}{11}$

Schritt 7

Berechne den Wert des Kotangens.

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Schritt 7.1

Bestimme den Wert von $\cot (θ)$ mithilfe der Definition des Kotangens.

$\cot (θ) = \frac{adj}{opp}$

Schritt 7.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{11}}{5}$

Schritt 8

Berechne den Wert des Sekans.

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Schritt 8.1

Bestimme den Wert von $\sec (θ)$ mithilfe der Definition des Sekans.

$\sec (θ) = \frac{hyp}{adj}$

Schritt 8.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\sec (θ) = \frac{6}{\sqrt{11}}$

Schritt 8.3

Vereinfache den Wert von $\sec (θ)$ .

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Schritt 8.3.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\sec (θ) = \frac{6}{\sqrt{11}} \cdot \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$

Schritt 8.3.2

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 8.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{6}{\sqrt{11}}$ mit $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{11}}$ .

$\sec (θ) = \frac{6 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 8.3.2.2

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{6 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 8.3.2.3

Potenziere $\sqrt{11}$ mit $1$ .

$\sec (θ) = \frac{6 \sqrt{11}}{\sqrt{11} \sqrt{11}}$

Schritt 8.3.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (θ) = \frac{6 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{1 + 1}}$

Schritt 8.3.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (θ) = \frac{6 \sqrt{11}}{{\sqrt{11}}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6

Schreibe ${\sqrt{11}}^{2}$ als $11$ um.

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Schritt 8.3.2.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{11}$ als $11^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (θ) = \frac{6 \sqrt{11}}{{(11^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 8.3.2.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (θ) = \frac{6 \sqrt{11}}{11^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 8.3.2.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (θ) = \frac{6 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.2.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (θ) = \frac{6 \sqrt{11}}{11^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 8.3.2.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (θ) = \frac{6 \sqrt{11}}{11}$

Schritt 8.3.2.6.5

Berechne den Exponenten.

$\sec (θ) = \frac{6 \sqrt{11}}{11}$

Schritt 9

Berechne den Wert des Kosekans.

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Schritt 9.1

Bestimme den Wert von $\csc (θ)$ mithilfe der Definition des Kosekans.

$\csc (θ) = \frac{hyp}{opp}$

Schritt 9.2

Setze die bekannten Werte ein.

$\csc (θ) = \frac{6}{5}$

Schritt 10

Das ist die Lösung zu jedem trigonometrischen Wert.

$\sin (θ) = \frac{5}{6}$

$\cos (θ) = \frac{\sqrt{11}}{6}$

$\tan (θ) = \frac{5 \sqrt{11}}{11}$

$\cot (θ) = \frac{\sqrt{11}}{5}$

$\sec (θ) = \frac{6 \sqrt{11}}{11}$

$\csc (θ) = \frac{6}{5}$