Trigonometrie Beispiele

$3 < 2 y^{2} + 5 y$

Schritt 1

Stelle so um, dass $y$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$2 y^{2} + 5 y > 3$

Schritt 2

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$2 y^{2} + 5 y = 3$

Schritt 3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y^{2} + 5 y - 3 = 0$

Schritt 4

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 4.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 y$ heraus.

$2 y^{2} + 5 (y) - 3 = 0$

Schritt 4.1.2

Schreibe $5$ um als $- 1$ plus $6$

$2 y^{2} + (- 1 + 6) y - 3 = 0$

Schritt 4.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y^{2} - 1 y + 6 y - 3 = 0$

Schritt 4.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 4.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 y^{2} - 1 y) + 6 y - 3 = 0$

Schritt 4.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y (2 y - 1) + 3 (2 y - 1) = 0$

Schritt 4.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 y - 1$ .

$(2 y - 1) (y + 3) = 0$

Schritt 5

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 y - 1 = 0$

$y + 3 = 0$

Schritt 6

Setze $2 y - 1$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Setze $2 y - 1$ gleich $0$ .

$2 y - 1 = 0$

Schritt 6.2

Löse $2 y - 1 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 6.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y = 1$

Schritt 6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2}$

Schritt 7

Setze $y + 3$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Setze $y + 3$ gleich $0$ .

$y + 3 = 0$

Schritt 7.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = - 3$

Schritt 8

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 y - 1) (y + 3) = 0$ wahr machen.

$y = \frac{1}{2}, - 3$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$y < - 3$

$- 3 < y < \frac{1}{2}$

$y > \frac{1}{2}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $y < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = - 6$

Schritt 10.1.2

Ersetze $y$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 < 2 {(- 6)}^{2} + 5 (- 6)$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $3$ ist kleiner als die rechte Seite $42$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < y < \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < y < \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 0$

Schritt 10.2.2

Ersetze $y$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 < 2 {(0)}^{2} + 5 (0)$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $3$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $y > \frac{1}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $y > \frac{1}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$y = 3$

Schritt 10.3.2

Ersetze $y$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$3 < 2 {(3)}^{2} + 5 (3)$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $3$ ist kleiner als die rechte Seite $33$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 10.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$y < - 3$ Wahr

$- 3 < y < \frac{1}{2}$ Falsch

$y > \frac{1}{2}$ Wahr

$y < - 3$ Wahr

$- 3 < y < \frac{1}{2}$ Falsch

$y > \frac{1}{2}$ Wahr

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$y < - 3$ oder $y > \frac{1}{2}$

Schritt 12

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - 3) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Schritt 13