Trigonometrie Beispiele

$\sin (x) > \cos (x)$

Schritt 1

Teile jeden Term in der Gleichung durch $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 2

Wandle von $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ nach $\tan (x)$ um.

$\tan (x) > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\tan (x) > \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Schritt 3.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (x) > 1$

Schritt 4

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$x > \arctan (1)$

Schritt 5

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$x > \frac{π}{4}$

Schritt 6

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$x = π + \frac{π}{4}$

Schritt 7

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 7.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 7.3

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 7.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Schritt 8

Ermittele die Periode von $\tan (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 8.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 8.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 8.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 9

Die Periode der Funktion $\tan (x)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$

Schritt 11

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 11.1.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (2) > \cos (2)$

Schritt 11.1.3

Die linke Seite $0.90929742$ ist größer als die rechte Seite $- 0.41614683$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 11.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 11.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 11.2.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (5) > \cos (5)$

Schritt 11.2.3

Die linke Seite $- 0.95892427$ ist nicht größer als die rechte Seite $0.28366218$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 11.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Wahr

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Falsch

$\frac{π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Wahr

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{9 π}{4}$ Falsch

Schritt 12

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 13

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(\frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n)$

Schritt 14