Trigonometrie Beispiele

$\tan (3 x - \frac{π}{2}) > 1$

Schritt 1

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$3 x - \frac{π}{2} > \arctan (1)$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arctan (1)$ ist $\frac{π}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} > \frac{π}{4}$

Schritt 3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1

Addiere $\frac{π}{2}$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Schritt 3.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x > \frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x > \frac{π + π \cdot 2}{4}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 x > \frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Schritt 3.5.2

Addiere $π$ und $2 π$ .

$3 x > \frac{3 π}{4}$

Schritt 4

Teile jeden Ausdruck in $3 x > \frac{3 π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 4.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x > \frac{3 π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{\frac{3 π}{4}}{3}$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 π$ heraus.

$x > \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x > \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 4.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x > \frac{π}{4}$

Schritt 5

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$3 x - \frac{π}{2} = π + \frac{π}{4}$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache $π + \frac{π}{4}$ .

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Schritt 6.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 6.1.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 6.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{4}{4}$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Schritt 6.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Schritt 6.1.3.2

Addiere $4 π$ und $π$ .

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{5 π}{4}$

Schritt 6.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.2.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2}$

Schritt 6.2.2

Um $\frac{π}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 6.2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{π}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$3 x = \frac{5 π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Schritt 6.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = \frac{5 π + π \cdot 2}{4}$

Schritt 6.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.5.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $π$ .

$3 x = \frac{5 π + 2 \cdot π}{4}$

Schritt 6.2.5.2

Addiere $5 π$ und $2 π$ .

$3 x = \frac{7 π}{4}$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{7 π}{4}$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = \frac{7 π}{4}$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Schritt 6.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{3}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Schritt 6.3.3.2

Multipliziere $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Schritt 6.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7 π}{4}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 3}$

Schritt 6.3.3.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Schritt 7

Ermittele die Periode von $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ .

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Schritt 7.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 7.2

Ersetze $b$ durch $3$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 3 |}$

Schritt 7.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $3$ ist $3$ .

$\frac{π}{3}$

Schritt 8

Die Periode der Funktion $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ , d. h., Werte werden sich alle $\frac{π}{3}$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 9

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\tan (3 x - \frac{π}{2}) - 1$ .

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Schritt 10.1

Setze das Argument in $\tan (3 x - \frac{π}{2})$ gleich $\frac{π}{2} + π n$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.2.1.1

Addiere $\frac{π}{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = \frac{π}{2} + π n + \frac{π}{2}$

Schritt 10.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$3 x = π n + \frac{π + π}{2}$

Schritt 10.2.1.3

Addiere $π$ und $π$ .

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

Schritt 10.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x = π n + \frac{2 π}{2}$

Schritt 10.2.1.4.2

Dividiere $π$ durch $1$ .

$3 x = π n + π$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = π n + π$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = π n + π$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 10.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

${x | x \neq \frac{π n}{3} + \frac{π}{3}}$ $n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (3 (1) - \frac{π}{2}) > 1$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $7.01525255$ ist größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.44$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $1.44$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\tan (3 (1.44) - \frac{π}{2}) > 1$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $- 0.4138503$ ist nicht größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 12.3

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Wahr

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ Falsch

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Wahr

$\frac{π}{3} < x < \frac{7 π}{12}$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{π}{4} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 14

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(\frac{π}{4} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{3})$

Schritt 15