Trigonometrie Beispiele

$| - 4 x + 5 | < 13$

Schritt 1

Schreibe $| - 4 x + 5 | < 13$ als abschnittsweise Funktion.

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Schritt 1.1

Um das Intervall für den ersten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes nicht negativ ist.

$- 4 x + 5 \geq 0$

Schritt 1.2

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.2.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x \geq - 5$

Schritt 1.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x \geq - 5$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.1

Teile jeden Term in $- 4 x \geq - 5$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} \leq \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 1.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} \leq \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 1.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 1.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x \leq \frac{5}{4}$

Schritt 1.3

Entferne den Absolutwert in dem Teil, in dem $- 4 x + 5$ nicht negativ ist.

$- 4 x + 5 < 13$

Schritt 1.4

Um das Intervall für den zweiten Teil zu bestimmen, ermittele, wo das Innere des Absolutwertes negativ ist.

$- 4 x + 5 < 0$

Schritt 1.5

Löse die Ungleichung.

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Schritt 1.5.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x < - 5$

Schritt 1.5.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x < - 5$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 1.5.2.1

Teile jeden Term in $- 4 x < - 5$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 1.5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 1.5.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 1.5.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{- 5}{- 4}$

Schritt 1.5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.5.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x > \frac{5}{4}$

Schritt 1.6

Entferne den Absolutwert und multipliziere mit $- 1$ in dem Teil, in dem $- 4 x + 5$ negativ ist.

$- (- 4 x + 5) < 13$

Schritt 1.7

Schreibe als eine abschnittsweise Funktion.

${\begin{cases} - 4 x + 5 < 13 & x \leq \frac{5}{4} \\ - (- 4 x + 5) < 13 & x > \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8

Vereinfache $- (- 4 x + 5) < 13$ .

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Schritt 1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

${\begin{cases} - 4 x + 5 < 13 & x \leq \frac{5}{4} \\ - (- 4 x) - 1 \cdot 5 < 13 & x > \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

${\begin{cases} - 4 x + 5 < 13 & x \leq \frac{5}{4} \\ 4 x - 1 \cdot 5 < 13 & x > \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 1.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

${\begin{cases} - 4 x + 5 < 13 & x \leq \frac{5}{4} \\ 4 x - 5 < 13 & x > \frac{5}{4} \end{cases}$

Schritt 2

Löse $- 4 x + 5 < 13$ , wenn $x \leq \frac{5}{4}$ ergibt.

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Schritt 2.1

Löse $- 4 x + 5 < 13$ nach $x$ auf.

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Schritt 2.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1.1.1

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 4 x < 13 - 5$

Schritt 2.1.1.2

Subtrahiere $5$ von $13$ .

$- 4 x < 8$

Schritt 2.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 4 x < 8$ durch $- 4$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.2.1

Teile jeden Term in $- 4 x < 8$ durch $- 4$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{8}{- 4}$

Schritt 2.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4$ .

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Schritt 2.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4 x}{- 4} > \frac{8}{- 4}$

Schritt 2.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x > \frac{8}{- 4}$

Schritt 2.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.2.3.1

Dividiere $8$ durch $- 4$ .

$x > - 2$

Schritt 2.2

Bestimme die Schnittmenge von $x > - 2$ und $x \leq \frac{5}{4}$ .

$- 2 < x \leq \frac{5}{4}$

Schritt 3

Löse $4 x - 5 < 13$ , wenn $x > \frac{5}{4}$ ergibt.

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Schritt 3.1

Löse $4 x - 5 < 13$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.1.1.1

Addiere $5$ auf beiden Seiten der Ungleichung.

$4 x < 13 + 5$

Schritt 3.1.1.2

Addiere $13$ und $5$ .

$4 x < 18$

Schritt 3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 18$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x < 18$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} < \frac{18}{4}$

Schritt 3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} < \frac{18}{4}$

Schritt 3.1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x < \frac{18}{4}$

Schritt 3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $18$ und $4$ .

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Schritt 3.1.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $18$ heraus.

$x < \frac{2 (9)}{4}$

Schritt 3.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x < \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x < \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x < \frac{9}{2}$

Schritt 3.2

Bestimme die Schnittmenge von $x < \frac{9}{2}$ und $x > \frac{5}{4}$ .

$\frac{5}{4} < x < \frac{9}{2}$

Schritt 4

Ermittele die Vereinigungsmenge der Lösungen.

$- 2 < x < \frac{9}{2}$

Schritt 5

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 2, \frac{9}{2})$

Schritt 6