Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{x}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 1

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $x$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$\frac{x}{3} < \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Schritt 2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1

Der genau Wert von $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$\frac{x}{3} < \frac{π}{3}$

Schritt 3

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x < π$

Schritt 4

Die Sinusfunktion ist positiv im ersten und zweiten Quadranten. Um die zweite Lösung zu ermitteln, subtrahiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im zweiten Quadranten zu finden.

$\frac{x}{3} = π - \frac{π}{3}$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x}{3} = 3 (π - \frac{π}{3})$

Schritt 5.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 3 (π - \frac{π}{3})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $3 (π - \frac{π}{3})$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3})$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.2.1.2.1

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = 3 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3})$

Schritt 5.2.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = 3 \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.2.2.1.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x = π \cdot 3 - π$

Schritt 5.2.2.1.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$x = 3 π - π$

Schritt 5.2.2.1.4

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$x = 2 π$

Schritt 6

Ermittele die Periode von $\sin (\frac{x}{3})$ .

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Schritt 6.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 6.2

Ersetze $b$ durch $\frac{1}{3}$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{3} |}$

Schritt 6.3

$\frac{1}{3}$ ist ungefähr $0.\overline{3}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$\frac{2 π}{\frac{1}{3}}$

Schritt 6.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 π \cdot 3$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 π$

Schritt 7

Die Periode der Funktion $\sin (\frac{x}{3})$ ist $6 π$ , d. h., Werte werden sich alle $6 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 6 π n, 2 π + 6 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$π < x < 2 π$

$2 π < x < 7 π$

$7 π < x < 8 π$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $π < x < 2 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $π < x < 2 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (\frac{5}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $0.99540795$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.8660254$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $2 π < x < 7 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 π < x < 7 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 9$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $9$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (\frac{9}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $0.14112$ ist kleiner als die rechte Seite $0.8660254$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $7 π < x < 8 π$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $7 π < x < 8 π$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 24$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $24$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sin (\frac{24}{3}) < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $0.98935824$ ist nicht kleiner als die rechte Seite $0.8660254$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$π < x < 2 π$ Falsch

$2 π < x < 7 π$ Wahr

$7 π < x < 8 π$ Falsch

$π < x < 2 π$ Falsch

$2 π < x < 7 π$ Wahr

$7 π < x < 8 π$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$2 π + 6 π n < x < 7 π + 6 π n$ , für jede ganze Zahl $n$

Schritt 11

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(2 π + 6 π n, 7 π + 6 π n)$

Schritt 12