Trigonometrie Beispiele

$\frac{6}{3 w - 4} > w + 1$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $w$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{6}{3 w - 4} - w > 1$

Schritt 1.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{6}{3 w - 4} - w - 1 > 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{6}{3 w - 4} - w - 1$ .

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Schritt 2.1

Um $- w$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{6}{3 w - 4} - w \cdot \frac{3 w - 4}{3 w - 4} - 1 > 0$

Schritt 2.2

Kombiniere $- w$ und $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{6}{3 w - 4} + \frac{- w (3 w - 4)}{3 w - 4} - 1 > 0$

Schritt 2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 - w (3 w - 4)}{3 w - 4} - 1 > 0$

Schritt 2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 - w (3 w) - w \cdot - 4}{3 w - 4} - 1 > 0$

Schritt 2.4.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{6 - 1 \cdot 3 w \cdot w - w \cdot - 4}{3 w - 4} - 1 > 0$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3 w \cdot w + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Schritt 2.4.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.4.4.1

Multipliziere $w$ mit $w$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.4.1.1

Bewege $w$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3 (w \cdot w) + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Schritt 2.4.4.1.2

Mutltipliziere $w$ mit $w$ .

$\frac{6 - 1 \cdot 3 w^{2} + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{6 - 3 w^{2} + 4 w}{3 w - 4} - 1 > 0$

Schritt 2.4.5

Stelle die Terme um.

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6}{3 w - 4} - 1 > 0$

Schritt 2.5

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6}{3 w - 4} - 1 \cdot \frac{3 w - 4}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.6

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3 w - 4}{3 w - 4}$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6}{3 w - 4} + \frac{- (3 w - 4)}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - (3 w - 4)}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - (3 w) - - 4}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - 3 w - - 4}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.8.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 4 w + 6 - 3 w + 4}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.8.4

Subtrahiere $3 w$ von $4 w$ .

$\frac{- 3 w^{2} + w + 6 + 4}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.8.5

Addiere $6$ und $4$ .

$\frac{- 3 w^{2} + w + 10}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.8.6

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.8.6.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 3 \cdot 10 = - 30$ und deren Summe gleich $b = 1$ ist.

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Schritt 2.8.6.1.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{- 3 w^{2} + 1 w + 10}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.8.6.1.2

Schreibe $1$ um als $- 5$ plus $6$

$\frac{- 3 w^{2} + (- 5 + 6) w + 10}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.8.6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 3 w^{2} - 5 w + 6 w + 10}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.8.6.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.8.6.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{(- 3 w^{2} - 5 w) + 6 w + 10}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.8.6.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{w (- 3 w - 5) - 2 (- 3 w - 5)}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.8.6.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 3 w - 5$ .

$\frac{(- 3 w - 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 w$ heraus.

$\frac{(- (3 w) - 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.10

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$\frac{(- (3 w) - 1 (5)) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 w) - 1 (5)$ heraus.

$\frac{- (3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.12

Schreibe $- (3 w + 5)$ als $- 1 (3 w + 5)$ um.

$\frac{- 1 (3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Schritt 2.13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{(3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4} > 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$3 w + 5 = 0$

$w - 2 = 0$

$3 w - 4 = 0$

Schritt 4

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 w = - 5$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $3 w = - 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $3 w = - 5$ durch $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 w}{3} = \frac{- 5}{3}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $w$ durch $1$ .

$w = \frac{- 5}{3}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$w = - \frac{5}{3}$

Schritt 6

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$w = 2$

Schritt 7

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 w = 4$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $3 w = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $3 w = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $w$ durch $1$ .

$w = \frac{4}{3}$

Schritt 9

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$w = - \frac{5}{3}$

$w = 2$

$w = \frac{4}{3}$

Schritt 10

Fasse die Lösungen zusammen.

$w = - \frac{5}{3}, 2, \frac{4}{3}$

Schritt 11

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{(3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4}$ .

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Schritt 11.1

Setze den Nenner in $\frac{(3 w + 5) (w - 2)}{3 w - 4}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 w - 4 = 0$

Schritt 11.2

Löse nach $w$ auf.

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Schritt 11.2.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 w = 4$

Schritt 11.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 w = 4$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 11.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 w = 4$ durch $3$ .

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 11.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 11.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 11.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 w}{3} = \frac{4}{3}$

Schritt 11.2.2.2.1.2

Dividiere $w$ durch $1$ .

$w = \frac{4}{3}$

Schritt 11.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $w$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Schritt 12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$w < - \frac{5}{3}$

$- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$

$\frac{4}{3} < w < 2$

$w > 2$

Schritt 13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 13.1

Teste einen Wert im Intervall $w < - \frac{5}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $w < - \frac{5}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$w = - 4$

Schritt 13.1.2

Ersetze $w$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{3 (- 4) - 4} > (- 4) + 1$

Schritt 13.1.3

Die linke Seite $- 0.375$ ist größer als die rechte Seite $- 3$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 13.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$w = 0$

Schritt 13.2.2

Ersetze $w$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{3 (0) - 4} > (0) + 1$

Schritt 13.2.3

Die linke Seite $- 1.5$ ist nicht größer als die rechte Seite $1$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 13.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{4}{3} < w < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{4}{3} < w < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$w = 1.67$

Schritt 13.3.2

Ersetze $w$ durch $1.67$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{3 (1.67) - 4} > (1.67) + 1$

Schritt 13.3.3

Die linke Seite $5.\overline{9405}$ ist größer als die rechte Seite $2.67$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 13.4

Teste einen Wert im Intervall $w > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $w > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$w = 4$

Schritt 13.4.2

Ersetze $w$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{6}{3 (4) - 4} > (4) + 1$

Schritt 13.4.3

Die linke Seite $0.75$ ist nicht größer als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 13.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$w < - \frac{5}{3}$ Wahr

$- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ Falsch

$\frac{4}{3} < w < 2$ Wahr

$w > 2$ Falsch

$w < - \frac{5}{3}$ Wahr

$- \frac{5}{3} < w < \frac{4}{3}$ Falsch

$\frac{4}{3} < w < 2$ Wahr

$w > 2$ Falsch

Schritt 14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$w < - \frac{5}{3}$ oder $\frac{4}{3} < w < 2$

Schritt 15

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- \infty, - \frac{5}{3}) \cup (\frac{4}{3}, 2)$

Schritt 16