Trigonometrie Beispiele

$- 2 x^{2} + 3 x + 5 > 0$

Schritt 1

Wandle die Ungleichung in eine Gleichung um.

$- 2 x^{2} + 3 x + 5 = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2} + 3 x + 5$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$- (2 x^{2}) + 3 x + 5 = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $3 x$ heraus.

$- (2 x^{2}) - (- 3 x) + 5 = 0$

Schritt 2.1.3

Schreibe $5$ als $- 1 (- 5)$ um.

$- (2 x^{2}) - (- 3 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2}) - (- 3 x)$ heraus.

$- (2 x^{2} - 3 x) - 1 \cdot - 5 = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x^{2} - 3 x) - 1 (- 5)$ heraus.

$- (2 x^{2} - 3 x - 5) = 0$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ und deren Summe gleich $b = - 3$ ist.

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Schritt 2.2.1.1.1

Faktorisiere $- 3$ aus $- 3 x$ heraus.

$- (2 x^{2} - 3 x - 5) = 0$

Schritt 2.2.1.1.2

Schreibe $- 3$ um als $2$ plus $- 5$

$- (2 x^{2} + (2 - 5) x - 5) = 0$

Schritt 2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- (2 x^{2} + 2 x - 5 x - 5) = 0$

Schritt 2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$- ((2 x^{2} + 2 x) - 5 x - 5) = 0$

Schritt 2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$- (2 x (x + 1) - 5 (x + 1)) = 0$

Schritt 2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x + 1$ .

$- ((x + 1) (2 x - 5)) = 0$

Schritt 2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (x + 1) (2 x - 5) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x - 5 = 0$

Schritt 4

Setze $x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x + 1$ gleich $0$ .

$x + 1 = 0$

Schritt 4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 1$

Schritt 5

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $2 x - 5$ gleich $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Schritt 5.2

Löse $2 x - 5 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 5$

Schritt 5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 5$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (x + 1) (2 x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = - 1, \frac{5}{2}$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1$

$- 1 < x < \frac{5}{2}$

$x > \frac{5}{2}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 2 {(- 4)}^{2} + 3 (- 4) + 5 > 0$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $- 39$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 < x < \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 < x < \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 2 {(0)}^{2} + 3 (0) + 5 > 0$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $5$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{5}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{5}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$- 2 {(5)}^{2} + 3 (5) + 5 > 0$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $- 30$ ist nicht größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$x > \frac{5}{2}$ Falsch

$x < - 1$ Falsch

$- 1 < x < \frac{5}{2}$ Wahr

$x > \frac{5}{2}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 1 < x < \frac{5}{2}$

Schritt 10

Notiere die Ungleichung in Intervallschreibweise.

$(- 1, \frac{5}{2})$

Schritt 11