Trigonometrie Beispiele

$5 \sin (x) + 12 \cos (x)$

Schritt 1

Gegeben sei der Ausdruck $a \sin (x) + b \cos (x)$ , ermittle die Werte von $k$ und $θ$ .

$k = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

$θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$

Schritt 2

Berechne den Wert für $k$ durch die Substitution der Koeffizienten von $5 \sin (x)$ und $12 \cos (x)$ in $k = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$k = \sqrt{25 + {(12)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$k = \sqrt{25 + 144}$

Schritt 2.3

Addiere $25$ und $144$ .

$k = \sqrt{169}$

Schritt 2.4

Schreibe $169$ als $13^{2}$ um.

$k = \sqrt{13^{2}}$

Schritt 2.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$k = 13$

Schritt 3

Ermittle den Wert von $θ$ durch Einsetzen der Koeffizienten von $5 \sin (x)$ und $12 \cos (x)$ in $θ = \tan^{-1} (\frac{b}{a})$ .

$θ = \tan^{-1} (\frac{12}{5})$

Schritt 4

Linearkomibnationen trigonometrischer Funktionen bestimmen, dass $a \sin (x) + b \cos (x) = k \sin (x + θ)$ . Substituiere die Werte von $k$ und $θ$ .

$13 \sin ((x + θ = 1.1760052))$