Trigonometrie Beispiele

$\sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.1.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.1.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkeldifferenzen an.

$(\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.1.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.1.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.1.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.1.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.1.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$(\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.1.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.1.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.1.7.1.2

Multipliziere $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.1.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.1.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.1.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{5 π}{12}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2

Der genau Wert von $\cos (\frac{5 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.2.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{6} + \frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\cos (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cos (\frac{π}{4}) - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{4})) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.2.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2.7.1.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2.7.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.2.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.2.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.3.2

Potenziere $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.3.3

Potenziere $\sqrt{6} - \sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1} {(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1}}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{1 + 1}}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{{(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.4

Schreibe ${(\sqrt{6} - \sqrt{2})}^{2}$ als $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ um.

$\frac{(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.5

Multipliziere $(\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.6.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.2

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.3

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.5

Multipliziere $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 1.6.1.5.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{6 - \sqrt{12} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.6

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.6.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.6.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{6 - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} \sqrt{6} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.9

Multipliziere $- \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

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Schritt 1.6.1.9.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{6 \cdot 2} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.9.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{12} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.10

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.6.1.10.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{4 (3)} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.10.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2^{2} \cdot 3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.11

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - (2 \sqrt{3}) - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.12

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.13

Multipliziere $- \sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

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Schritt 1.6.1.13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.13.2

Mutltipliziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.13.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.13.4

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.13.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.13.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{2}}^{2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.14

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.6.1.14.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.14.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.14.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.14.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.6.1.14.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{\frac{2}{2}}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.14.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2^{1}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.1.14.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{6 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 2}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.2

Addiere $6$ und $2$ .

$\frac{8 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.6.3

Subtrahiere $2 \sqrt{3}$ von $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{8 - 4 \sqrt{3}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 - 4 \sqrt{3}$ und $16$ .

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 (2) - 4 \sqrt{3}}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{4 (2) + 4 (- \sqrt{3})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.7.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (2) + 4 (- \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{16} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.7.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.7.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (2 - \sqrt{3})}{4 \cdot 4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \cos (\frac{π}{12}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.8

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

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Schritt 1.8.1

Teile $\frac{π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.8.2

Wende das Additionstheorem der Trigonometrie $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ an.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.8.3

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.8.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.8.5

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.8.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.8.7

Vereinfache $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.8.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.8.7.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Schritt 1.8.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.8.7.1.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.8.7.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.8.7.1.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.8.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Schritt 1.8.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.8.7.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}) \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.8.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{5 π}{12})$

Schritt 1.9

Der genau Wert von $\sin (\frac{5 π}{12})$ ist $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 1.9.1

Teile $\frac{5 π}{12}$ in zwei Winkel, für die die Werte der sechs trigonometrischen Funktionen bekannt sind.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})$

Schritt 1.9.2

Wende die Identitätsgleichung für Winkelsummen an.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 1.9.3

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{6})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 1.9.4

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 1.9.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \sin (\frac{π}{4}))$

Schritt 1.9.6

Der genau Wert von $\sin (\frac{π}{4})$ ist $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 1.9.7

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.9.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.9.7.1.1

Multipliziere $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.9.7.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 1.9.7.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 1.9.7.1.2

Multipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Schritt 1.9.7.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{3}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.9.7.1.2.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.9.7.1.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2})$

Schritt 1.9.7.1.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} (\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4})$

Schritt 1.9.7.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$

Schritt 1.10

Multipliziere $- \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ .

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Schritt 1.10.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}$ mit $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.10.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.11

Multipliziere $(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.11.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{16}$

Schritt 1.11.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.12.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.12.1.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.3

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.12.1.3.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.3.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.7

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.9

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.10

Mutltipliziere $6$ mit $6$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{36} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.11

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + \sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.12

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{6} \sqrt{2}}{16}$

Schritt 1.12.1.13

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{6 \cdot 2}}{16}$

Schritt 1.12.1.14

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{12}}{16}$

Schritt 1.12.1.15

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 1.12.1.15.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{4 (3)}}{16}$

Schritt 1.12.1.15.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{16}$

Schritt 1.12.1.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 \sqrt{3} + 2 + 6 + 2 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 1.12.2

Addiere $2 \sqrt{3}$ und $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 + 6 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 1.12.3

Addiere $2$ und $6$ .

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{8 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 1.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8 + 4 \sqrt{3}$ und $16$ .

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Schritt 1.13.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{4 \cdot 2 + 4 \sqrt{3}}{16}$

Schritt 1.13.2

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})}{16}$

Schritt 1.13.3

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 2 + 4 (\sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{16}$

Schritt 1.13.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.13.4.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 (4)}$

Schritt 1.13.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{4 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.13.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - \sqrt{3}}{4} - \frac{2 + \sqrt{3}}{4}$

Schritt 2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 - \sqrt{3} - (2 + \sqrt{3})}{4}$

Schritt 3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 - \sqrt{3} - 1 \cdot 2 - \sqrt{3}}{4}$

Schritt 3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 - \sqrt{3} - 2 - \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{0 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.2

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $0$ .

$\frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.3

Subtrahiere $\sqrt{3}$ von $- \sqrt{3}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{4}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{4}$

Schritt 4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 (2)}$

Schritt 4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- \sqrt{3})}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Schritt 5

Das Polynom kann mit der angegebenen Methode nicht faktorisiert werden. Versuche eine andere Methode, oder, wenn du nicht sicher bist, wähle Faktorisieren.

Das Polynom kann mit der angegebenen Methode nicht faktorisiert werden.