Trigonometrie Beispiele

$5 \sec^{3} (x) - 5 \sec^{2} (x) - 5 \sec (x) + 5$

Schritt 1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sec^{3} (x) - 5 \sec^{2} (x) - 5 \sec (x) + 5$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \sec^{3} (x)$ heraus.

$5 (\sec^{3} (x)) - 5 \sec^{2} (x) - 5 \sec (x) + 5$

Schritt 1.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5 \sec^{2} (x)$ heraus.

$5 (\sec^{3} (x)) + 5 (- \sec^{2} (x)) - 5 \sec (x) + 5$

Schritt 1.3

Faktorisiere $5$ aus $- 5 \sec (x)$ heraus.

$5 (\sec^{3} (x)) + 5 (- \sec^{2} (x)) + 5 (- \sec (x)) + 5$

Schritt 1.4

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$5 (\sec^{3} (x)) + 5 (- \sec^{2} (x)) + 5 (- \sec (x)) + 5 (1)$

Schritt 1.5

Faktorisiere $5$ aus $5 (\sec^{3} (x)) + 5 (- \sec^{2} (x))$ heraus.

$5 (\sec^{3} (x) - \sec^{2} (x)) + 5 (- \sec (x)) + 5 (1)$

Schritt 1.6

Faktorisiere $5$ aus $5 (\sec^{3} (x) - \sec^{2} (x)) + 5 (- \sec (x))$ heraus.

$5 (\sec^{3} (x) - \sec^{2} (x) - \sec (x)) + 5 (1)$

Schritt 1.7

Faktorisiere $5$ aus $5 (\sec^{3} (x) - \sec^{2} (x) - \sec (x)) + 5 (1)$ heraus.

$5 (\sec^{3} (x) - \sec^{2} (x) - \sec (x) + 1)$

Schritt 2

Gruppiere die Terme um.

$5 (\sec^{3} (x) + 1 - \sec^{2} (x) - \sec (x))$

Schritt 3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

$5 (\sec^{3} (x) + 1^{3} - \sec^{2} (x) - \sec (x))$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = \sec (x)$ und $b = 1$ .

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \cdot 1 + 1^{2}) - \sec^{2} (x) - \sec (x))$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1^{2}) - \sec^{2} (x) - \sec (x))$

Schritt 5.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1) - \sec^{2} (x) - \sec (x))$

Schritt 6

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- \sec^{2} (x) - \sec (x)$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- \sec^{2} (x)$ heraus.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1) + \sec (x) (- \sec (x)) - \sec (x))$

Schritt 6.2

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $- \sec (x)$ heraus.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1) + \sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1)$

Schritt 6.3

Faktorisiere $\sec (x)$ aus $\sec (x) (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot - 1$ heraus.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1) + \sec (x) (- \sec (x) - 1))$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec (x) - 1$ heraus.

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Schritt 7.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sec (x)$ heraus.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1) + \sec (x) (- (\sec (x)) - 1))$

Schritt 7.1.2

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1) + \sec (x) (- (\sec (x)) - 1 (1)))$

Schritt 7.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sec (x)) - 1 (1)$ heraus.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1) + \sec (x) (- (\sec (x) + 1)))$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1) + \sec (x) \cdot - 1 (\sec (x) + 1))$

Schritt 8

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1) - (\sec (x) (\sec (x) + 1)))$

Schritt 9

Entferne die Klammern.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1) - \sec (x) (\sec (x) + 1))$

Schritt 10

Faktorisiere $\sec (x) + 1$ aus $(\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1) - \sec (x) (\sec (x) + 1)$ heraus.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $\sec (x) + 1$ aus $- \sec (x) (\sec (x) + 1)$ heraus.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1) + (\sec (x) + 1) (- \sec (x)))$

Schritt 10.2

Faktorisiere $\sec (x) + 1$ aus $(\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1) + (\sec (x) + 1) (- \sec (x))$ heraus.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - \sec (x) + 1 - \sec (x)))$

Schritt 11

Subtrahiere $\sec (x)$ von $- \sec (x)$ .

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) + 1 - 2 \sec (x)))$

Schritt 12

Faktorisiere.

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Schritt 12.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 12.1.1

Ordne Terme um.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - 2 \sec (x) + 1))$

Schritt 12.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - 2 \sec (x) + 1^{2}))$

Schritt 12.1.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 \sec (x) = 2 \cdot \sec (x) \cdot 1$

Schritt 12.1.4

Schreibe das Polynom neu.

$5 ((\sec (x) + 1) (\sec^{2} (x) - 2 \cdot \sec (x) \cdot 1 + 1^{2}))$

Schritt 12.1.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = \sec (x)$ und $b = 1$ .

$5 ((\sec (x) + 1) {(\sec (x) - 1)}^{2})$

Schritt 12.2

Entferne unnötige Klammern.

$5 (\sec (x) + 1) {(\sec (x) - 1)}^{2}$