Trigonometrie Beispiele

$3 x^{6} + 82 x^{3} + 27$

Schritt 1

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{3})}^{2}$ um.

$3 {(x^{3})}^{2} + 82 x^{3} + 27$

Schritt 2

Es sei $u = x^{3}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{3}$ .

$3 u^{2} + 82 u + 27$

Schritt 3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 3 \cdot 27 = 81$ und deren Summe gleich $b = 82$ ist.

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $82$ aus $82 u$ heraus.

$3 u^{2} + 82 (u) + 27$

Schritt 3.1.2

Schreibe $82$ um als $1$ plus $81$

$3 u^{2} + (1 + 81) u + 27$

Schritt 3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$3 u^{2} + 1 u + 81 u + 27$

Schritt 3.1.4

Mutltipliziere $u$ mit $1$ .

$3 u^{2} + u + 81 u + 27$

Schritt 3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 u^{2} + u) + 81 u + 27$

Schritt 3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$u (3 u + 1) + 27 (3 u + 1)$

Schritt 3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 u + 1$ .

$(3 u + 1) (u + 27)$

Schritt 4

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$(3 x^{3} + 1) (x^{3} + 27)$

Schritt 5

Schreibe $27$ als $3^{3}$ um.

$(3 x^{3} + 1) (x^{3} + 3^{3})$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 3$ .

$(3 x^{3} + 1) ((x + 3) (x^{2} - x \cdot 3 + 3^{2}))$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$(3 x^{3} + 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 3^{2}))$

Schritt 7.1.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$(3 x^{3} + 1) ((x + 3) (x^{2} - 3 x + 9))$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x^{3} + 1) (x + 3) (x^{2} - 3 x + 9)$