Trigonometrie Beispiele

$2 x^{2} + 7 x^{3} - 8 x^{2} + 5$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$- 8 x^{2} + 2 x^{2} + 7 x^{3} + 5$

Schritt 2

Stelle die Terme um.

$- 8 x^{2} + 7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$

Schritt 3

Faktorisiere $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 3.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 7$

Schritt 3.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 5, \pm 0.\overline{714285}$

Schritt 3.3

Setze $- 1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 3.3.1

Setze $- 1$ in das Polynom ein.

$7 {(- 1)}^{3} + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Schritt 3.3.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$7 \cdot - 1 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$- 7 + 2 {(- 1)}^{2} + 5$

Schritt 3.3.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$- 7 + 2 \cdot 1 + 5$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 7 + 2 + 5$

Schritt 3.3.6

Addiere $- 7$ und $2$ .

$- 5 + 5$

Schritt 3.3.7

Addiere $- 5$ und $5$ .

$0$

Schritt 3.4

Da $- 1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{7 x^{3} + 2 x^{2} + 5}{x + 1}$

Schritt 3.5

Dividiere $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ durch $x + 1$ .

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Schritt 3.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Schritt 3.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $7 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$7 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Schritt 3.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			+	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Schritt 3.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $7 x^{3} + 7 x^{2}$

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Schritt 3.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$

Schritt 3.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$7 x^{2}$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 3.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 5 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$

Schritt 3.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$5 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 3.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 5 x^{2} - 5 x$

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$

Schritt 3.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$

Schritt 3.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

Schritt 3.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $5 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$

Schritt 3.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							+	$5 x$	+	$5$

Schritt 3.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $5 x + 5$

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$

Schritt 3.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$7 x^{2}$	-	$5 x$	+	$5$
$x$	+	$1$		$7 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
			-	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$
					-	$5 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$5 x^{2}$	+	$5 x$
							+	$5 x$	+	$5$
							-	$5 x$	-	$5$
										$0$

Schritt 3.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$7 x^{2} - 5 x + 5$

Schritt 3.6

Schreibe $7 x^{3} + 2 x^{2} + 5$ als eine Menge von Faktoren.

$- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$

Schritt 4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 x^{2} + (x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ heraus.

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Schritt 4.1

Stelle $- 8 x^{2}$ und $(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ um.

$(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) - 8 x^{2}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $- 1$ aus $(x + 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ heraus.

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - 8 x^{2}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 8 x^{2}$ heraus.

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$

Schritt 4.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)) - (8 x^{2})$ heraus.

$- ((- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5) + 8 x^{2})$

Schritt 5

Multipliziere $(- x - 1) (7 x^{2} - 5 x + 5)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$- (- x (7 x^{2}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- (- 1 \cdot 7 x \cdot x^{2} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- (- 1 \cdot 7 (x^{2} x^{1}) - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- (- 1 \cdot 7 x^{2 + 1} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$- (- 1 \cdot 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$- (- 7 x^{3} - x (- 5 x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x \cdot x - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1

Bewege $x$ .

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 (x \cdot x) - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$- (- 7 x^{3} - 1 \cdot - 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - x \cdot 5 - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 1 (7 x^{2}) - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6.8

Mutltipliziere $7$ mit $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} - 1 (- 5 x) - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6.9

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 1 \cdot 5 + 8 x^{2})$

Schritt 6.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5 + 8 x^{2})$

Schritt 7

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x - 7 x^{2} + 5 x - 5$ .

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Schritt 7.1

Addiere $- 5 x$ und $5 x$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} + 0 - 5 + 8 x^{2})$

Schritt 7.2

Addiere $- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2}$ und $0$ .

$- (- 7 x^{3} + 5 x^{2} - 7 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

Schritt 8

Subtrahiere $7 x^{2}$ von $5 x^{2}$ .

$- (- 7 x^{3} - 2 x^{2} - 5 + 8 x^{2})$

Schritt 9

Addiere $- 2 x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$- (- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5)$

Schritt 10

Faktorisiere.

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Schritt 10.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 x^{3} + 6 x^{2} - 5$ heraus.

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Schritt 10.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 7 x^{3}$ heraus.

$- (- (7 x^{3}) + 6 x^{2} - 5)$

Schritt 10.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $6 x^{2}$ heraus.

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 5)$

Schritt 10.1.3

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$- (- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2}) - 1 (5))$

Schritt 10.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 x^{3}) - (- 6 x^{2})$ heraus.

$- (- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5))$

Schritt 10.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (7 x^{3} - 6 x^{2}) - 1 (5)$ heraus.

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Schritt 10.2

Entferne unnötige Klammern.

$- - 1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Schritt 11

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 11.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- - (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Schritt 11.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (7 x^{3} - 6 x^{2} + 5)$

Schritt 11.3

Mutltipliziere $7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$ mit $1$ .

$7 x^{3} - 6 x^{2} + 5$