Trigonometrie Beispiele

$12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$

Schritt 1

Faktorisiere $12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 3, \pm 1.5, \pm 0.75$

Schritt 1.3

Setze $- 0.\overline{3}$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 0.\overline{3}$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 1.3.1

Setze $- 0.\overline{3}$ in das Polynom ein.

$12 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Schritt 1.3.2

Potenziere $- 0.\overline{3}$ mit $3$ .

$12 \cdot - 0.\overline{037} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $12$ mit $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{4} + 16 {(- 0.\overline{3})}^{2} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Schritt 1.3.4

Potenziere $- 0.\overline{3}$ mit $2$ .

$- 0.\overline{4} + 16 \cdot 0.\overline{1} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $16$ mit $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{4} + 1.\overline{7} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Schritt 1.3.6

Addiere $- 0.\overline{4}$ und $1.\overline{7}$ .

$1.\overline{3} - 5 \cdot - 0.\overline{3} - 3$

Schritt 1.3.7

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 0.\overline{3}$ .

$1.\overline{3} + 1.\overline{6} - 3$

Schritt 1.3.8

Addiere $1.\overline{3}$ und $1.\overline{6}$ .

$3 - 3$

Schritt 1.3.9

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$0$

Schritt 1.4

Da $- 0.\overline{3}$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $3 x + 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3}{3 x + 1}$

Schritt 1.5

Dividiere $12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ durch $3 x + 1$ .

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Schritt 1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$16 x^{2}$

$5 x$

$3$

Schritt 1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

					$4 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$

Schritt 1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			+	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Schritt 1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x^{3} + 4 x^{2}$

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Schritt 1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$

Schritt 1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $12 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$

Schritt 1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$4 x$

Schritt 1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $12 x^{2} + 4 x$

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$

Schritt 1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$

Schritt 1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$

Schritt 1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 9 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$

Schritt 1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							-	$9 x$	-	$3$

Schritt 1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 9 x - 3$

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							+	$9 x$	+	$3$

Schritt 1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$4 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	-	$5 x$	-	$3$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$12 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$4 x$
							-	$9 x$	-	$3$
							+	$9 x$	+	$3$
										$0$

Schritt 1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$4 x^{2} + 4 x - 3$

Schritt 1.6

Schreibe $12 x^{3} + 16 x^{2} - 5 x - 3$ als eine Menge von Faktoren.

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 4 x - 3)$

Schritt 2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ und deren Summe gleich $b = 4$ ist.

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Schritt 2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 4 (x) - 3)$

Schritt 2.1.1.2

Schreibe $4$ um als $- 2$ plus $6$

$(3 x + 1) (4 x^{2} + (- 2 + 6) x - 3)$

Schritt 2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 6 x - 3)$

Schritt 2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x + 1) ((4 x^{2} - 2 x) + 6 x - 3)$

Schritt 2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$(3 x + 1) (2 x (2 x - 1) + 3 (2 x - 1))$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 1$ .

$(3 x + 1) ((2 x - 1) (2 x + 3))$

Schritt 2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x + 1) (2 x - 1) (2 x + 3)$